Segmento somma e segmento differenza

27 Luglio 202114 Agosto 2022 / Alessandro

Cosa si intende per segmento somma? E per segmento differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con i segmenti, quelli in cui viene chiesto di determinare il segmento somma e il segmento differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due segmenti iniziali, AB e CD:

Segmento somma

Per determinare il segmento somma dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di disegnare i segmenti AB e CD in modo adiacente, facendo corrispondere il secondo punto del primo segmento con il primo punto del secondo segmento, misurando poi la lunghezza del segmento finale;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando il segmento che si crea unendo i due segmenti iniziali AB e CD (adiacenti):

Il segmento somma di AB e CD è ora AD.

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che i segmenti AB e CD abbiano le seguenti lunghezze:

AB = 5 cm
CD = 3 cm

Il segmento somma si ottiene sommando i valori:

AB + CD = 5 + 3 = 8 cm

Segmento differenza

Per determinare il segmento differenza dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di tracciare la proiezione ortogonale del secondo punto del segmento minore sul segmento maggiore, misurando poi il segmento che si ottiene;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Rappresentiamo con un disegno il segmento differenza di AB e CD, utilizzando il metodo grafico (proiettiamo ortogonalmente il punto D sul segmento AB, chiamandolo punto E):Il segmento differenza di AB e CD è EB.

Ricordando le misure di AB e CD, rispettivamente 5 cm e 3 cm, il segmento differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

AB – CD = 5 – 3 = 2 cm

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Differenza di due segmenti e loro rapporto

15 Luglio 202011 Dicembre 2020 / Alessandro

Differenza di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza di due segmenti è 8 cm e uno è i $\frac{4}{3}$ dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

n₁ – n₂ = 8 – cioè la differenza delle misure dei due segmenti
n₁ = $\frac{4}{3}$ n₂– cioè il rapporto tra i due segmenti

n₁ e n₂ rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{4}{3}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n₁ : n₂ = 4 : 3

In più, sappiamo che n₁ – n₂ = 8. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n₁ – n₂) : n₁ = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 8 dentro la parentesi (n₁ – n₂), ottenendo:

8 : n₁ = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere n₁, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n₁ = (8 · 4) : 1 = 32

Di conseguenza, n₂ si può ottenere per differenza, cioè:

n₂ = 32 – 8 = 24

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{4}{3}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Sapendo che n₁ – n₂ = 8, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 8.

Considerando che 1 unità vale 8 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 8 per le unità di ogni segmento, cioè:

8 · 4 = 32 = n₁

8 · 3 = 24 = n₂

Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

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Multipli e sottomultipli di un segmento

22 Agosto 20183 Novembre 2020 / Alessandro

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura $\frac{1}{4}$ del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per $\frac{1}{2}$ ), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per $\frac{1}{4}$ ), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento	Si moltiplica per 2 AB = 3 cm Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm
Il triplo del segmento	Si moltiplica per 3 CD = 7 cm Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm
Il quadruplo del segmento	Si moltiplica per 4 EF = 10 cm Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm
Il quintuplo del segmento	Si moltiplica per 5 GH = 6 cm Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm
…	…

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento	Si divide per 2 o si moltiplica per $\frac{1}{2}$ AB = 4 cm Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm
La terza parte del segmento	Si divide per 3 o si moltiplica per $\frac{1}{3}$ CD = 15 cm Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm
La quarta parte del segmento	Si divide per 4 o si moltiplica per $\frac{1}{4}$ EF = 24 cm Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm
La quinta parte del segmento	Si divide per 5 o si moltiplica per $\frac{1}{5}$ GH = 60 cm Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm
…	…

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Somma di due segmenti e loro rapporto

20 Luglio 20184 Novembre 2020 / Alessandro

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i $\frac{3}{4}$ dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

n₁ + n₂ = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
n₁ = $\frac{3}{4}$ n₂– cioè il rapporto tra i due segmenti

n₁ e n₂ rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{3}{4}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n₁ : n₂ = 3 : 4

In più, sappiamo che n₁ + n₂ = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n₁ + n₂) : n₁ = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n₁ + n₂), ottenendo:

35 : n₁ = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n₁, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n₁ = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n₂ si può ottenere per differenza, cioè:

n₂ = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{3}{4}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Sapendo che n₁ + n₂ = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n₁

5 · 4 = 20 = n₂

Se hai ancora qualche dubbio, ti invito a guardare la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

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Somma e differenza di due segmenti

13 Luglio 201829 Dicembre 2022 / Alessandro

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = a – b
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

Disegniamo i due segmenti a e b:

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (a – b) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

$a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm$

$b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm$

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).

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Esercizi sugli enti geometrici

In questa pagina puoi trovare una ricca raccolta di esercizi sugli enti geometrici, con diversi livelli di difficoltà e un collegamento diretto ad alcune videolezioni.

Problemi sui segmenti:
_Segmento somma e segmento differenza (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e differenza di segmenti (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Multipli e sottomultipli di un segmento – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e rapporto di segmenti – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Differenza e rapporto di segmenti – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Operazioni con le misure di angoli (videolezione addizione di angoli)

Problemi sugli angoli:
_Angolo somma e angolo differenza (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e differenza di angoli (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).
_Multipli e sottomultipli di angoli – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e rapporto di angoli – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Differenza e rapporto di angoli (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Se questi esercizi sugli enti geometrici ti hanno aiutato, svolgi gli altri esercizi di geometria!

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