scomposizione in fattori primi

Radice con la scomposizione in fattori primi

/ Alessandro

Cosa significa calcolare la radice con la scomposizione in fattori primi?

Significa utilizzare la scomposizione in fattori primi per l’estrazione della radice di un numero. Ricordiamo che la radice è l’operazione inversa della potenza; infatti:

4^3=64 \rightarrow\sqrt[3]{64}=4

La scomposizione in fattori primi è un’operazione che permette di scrivere un numero sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi. Per esempio:

45=3\cdot3\cdot5=3^2\cdot5

Per calcolare la radice di un numero attraverso la scomposizione in fattori primi è necessario:

  1. Scomporre il numero in fattori primi;
  2. Osservare gli esponenti dei fattori ottenuti dalla scomposizione: se tutti gli esponenti dei fattori sono uguali o multipli dell’indice di radice, allora è possibile svolgere la radice.

Vediamo con alcuni esempi come si svolge questa operazione.

Esempio 1

\sqrt{36}=

Il primo passaggio prevede di scomporre in fattori primi il numero 36:

36 | 2
18 | 2
9    | 3
3    | 3
1

Dalla scomposizione in fattori primi si ottiene:

36=2^2\cdot3^2

In questo caso gli esponenti dei fattori sono entrambi uguali all’indice di radice (si tratta di radice quadrata, quindi con indice uguale a 2).

Per calcolare la radice quadrata è sufficiente dividere per 2 gli esponenti dei fattori, togliendo così la radice:

\sqrt{36}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2^1\cdot3^1=2\cdot3=6

Esempio 2

\sqrt[3]{8000}=

Come detto nel primo esempio, il primo passaggio prevede di scomporre il numero in fattori primi:

8000 | 2
4000 | 2
2000 | 2
1000 | 2
500    | 2
250    | 2
125    | 5
25       | 5
5          | 5
1

Il risultato della scomposizione è il seguente:

8000=2^6\cdot5^3

Gli esponenti dei fattori sono, rispettivamente, multiplo (6 nel 26) e uguale (3 nel 53) dell’indice di radice.

Anche in questo esempio è possibile calcolare la radice, dividendo gli esponenti per l’indice di radice:

\sqrt[3]{8000}=\sqrt[3]{2^6\cdot5^3}=2^2\cdot5^1=4\cdot5=20

Esempio 3

\sqrt{54}=

Procediamo con la scomposizione in fattori primi del numero 54:

54 | 2
27 | 3
9    | 3
3    | 3
1

La scomposizione in fattori primi dà il seguente risultato:

54=2\cdot3^3

Considerando che si tratta di una radice quadrata, gli esponenti dei fattori non sono tali da permettere il calcolo della radice (il fattore 2 ha esponente 1, mentre il fattore 3 ha esponente 3).

Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione!

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Scomposizione in fattori primi

/ Alessandro

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi.

La scomposizione si esegue sui numeri composti, che sono numeri divisibili per se stessi, per 1 e per altri numeri.

Per eseguire la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) di un numero:

  • Si divide il numero considerato per il suo più piccolo divisore primo;
  • Si divide il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo … e così via finché non si ottiene come quoziente 1.

Esempio 1: scomporre in fattori primi il numero 180

scomposizione in fattori primi_esempio 1

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 180 è 2, quindi eseguo la divisione 180 : 2, ottenendo 90; il più piccolo divisore primo di 90 è 2, quindi eseguo la divisione 90 : 2, ottenendo 45; il più piccolo divisore primo di 45 è 3, quindi eseguo la divisione 45 : 3, ottenendo 15; il più piccolo divisore primo di 15 è 3, quindi eseguo la divisione 15 : 3, ottenendo 5; 5 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 5 : 5, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 5

Esempio 2: scomporre in fattori primi il numero 630

scomposizione in fattori primi_esempio 2

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 630 è 2, quindi eseguo la divisione 630 : 2, ottenendo 315; il più piccolo divisore primo di 315 è 3, quindi eseguo la divisione 315 : 3, ottenendo 105; il più piccolo divisore primo di 105 è 3, quindi eseguo la divisione 105 : 3, ottenendo 35; il più piccolo divisore primo di 35 è 5, quindi eseguo la divisione 35 : 5, ottenendo 7; 7 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 7 : 7, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:

630 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 22 · 3 · 5 · 7

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