radice

Radice con la scomposizione in fattori primi

/ Alessandro

Cosa significa calcolare la radice con la scomposizione in fattori primi?

Significa utilizzare la scomposizione in fattori primi per l’estrazione della radice di un numero. Ricordiamo che la radice è l’operazione inversa della potenza; infatti:

4^3=64 \rightarrow\sqrt[3]{64}=4

La scomposizione in fattori primi è un’operazione che permette di scrivere un numero sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi. Per esempio:

45=3\cdot3\cdot5=3^2\cdot5

Per calcolare la radice di un numero attraverso la scomposizione in fattori primi è necessario:

  1. Scomporre il numero in fattori primi;
  2. Osservare gli esponenti dei fattori ottenuti dalla scomposizione: se tutti gli esponenti dei fattori sono uguali o multipli dell’indice di radice, allora è possibile svolgere la radice.

Vediamo con alcuni esempi come si svolge questa operazione.

Esempio 1

\sqrt{36}=

Il primo passaggio prevede di scomporre in fattori primi il numero 36:

36 | 2
18 | 2
9    | 3
3    | 3
1

Dalla scomposizione in fattori primi si ottiene:

36=2^2\cdot3^2

In questo caso gli esponenti dei fattori sono entrambi uguali all’indice di radice (si tratta di radice quadrata, quindi con indice uguale a 2).

Per calcolare la radice quadrata è sufficiente dividere per 2 gli esponenti dei fattori, togliendo così la radice:

\sqrt{36}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2^1\cdot3^1=2\cdot3=6

Esempio 2

\sqrt[3]{8000}=

Come detto nel primo esempio, il primo passaggio prevede di scomporre il numero in fattori primi:

8000 | 2
4000 | 2
2000 | 2
1000 | 2
500    | 2
250    | 2
125    | 5
25       | 5
5          | 5
1

Il risultato della scomposizione è il seguente:

8000=2^6\cdot5^3

Gli esponenti dei fattori sono, rispettivamente, multiplo (6 nel 26) e uguale (3 nel 53) dell’indice di radice.

Anche in questo esempio è possibile calcolare la radice, dividendo gli esponenti per l’indice di radice:

\sqrt[3]{8000}=\sqrt[3]{2^6\cdot5^3}=2^2\cdot5^1=4\cdot5=20

Esempio 3

\sqrt{54}=

Procediamo con la scomposizione in fattori primi del numero 54:

54 | 2
27 | 3
9    | 3
3    | 3
1

La scomposizione in fattori primi dà il seguente risultato:

54=2\cdot3^3

Considerando che si tratta di una radice quadrata, gli esponenti dei fattori non sono tali da permettere il calcolo della radice (il fattore 2 ha esponente 1, mentre il fattore 3 ha esponente 3).

Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione!

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Radice di una frazione

/ Alessandro

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

\sqrt[]{\frac{16}{25}}

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}

Esempio 2

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Esempio 3

\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}}

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.