Prodotto di radicali con indice diverso

1 Gennaio 2021 / Alessandro

Il prodotto di radicali con indice diverso è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

A differenza del prodotto di radicali con lo stesso indice, che si risolve in modo abbastanza semplice, qui è necessario svolgere un passaggio preliminare per ottenere il risultato finale.

Questo passaggio è la riduzione di radicali allo stesso indice, cioè l’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Applicata questa trasformazione, si svolge il prodotto e il gioco è fatto!

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi per capire come svolgere il prodotto di radicali con indice diverso.

Esempio 1

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =$

In questo primo esempio abbiamo un prodotto di due radicali con indici diversi (rispettivamente 3 e 4).

Per ottenere il risultato è necessario, innanzitutto, ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Il primo passaggio è calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il passaggio non è complicato: infatti, il più piccolo multiplo che hanno in comune 3 e 4 è 12, quindi m.c.m. (3, 4) = 12.

Ora si opera la trasformazione dei due radicali iniziali in altri due che avranno come indice di radice 12: la trasformazione prevede di dividere 12 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}$

$\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}$

Dopo questa trasformazione abbiamo due radicali con lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =\sqrt[12]{2^4}\cdot\sqrt[12]{3^3}\ =\sqrt[12]{2^4\cdot3^3}=\sqrt[12]{16\cdot27}=\sqrt[12]{432}$

Esempio 2

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =$

In questo secondo esempio abbiamo un prodotto di tre radicali con indici diversi (rispettivamente 3, 6 e 9).

Come visto nel primo esempio, per ottenere il risultato è necessario ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il più piccolo multiplo che hanno in comune 3, 6 e 9 è 18, quindi m.c.m. (3, 6, 9) = 18.

Ora si opera la trasformazione dei tre radicali iniziali in altri tre che avranno come indice di radice 18: la trasformazione prevede di dividere 18 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{3}=\sqrt[18]{3^6}$

$\sqrt[6]{2}=\sqrt[18]{2^3}$

$\sqrt[9]{4}=\sqrt[18]{4^2}$

I tre radicali ottenuti hanno lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =\sqrt[18]{3^6}\cdot\sqrt[18]{2^3}\cdot\sqrt[18]{4^2}\ =\sqrt[18]{3^6\cdot2^3\cdot4^2}=\sqrt[18]{729\cdot8\cdot16}=\sqrt[18]{93312}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

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Espressioni con le radici

6 Luglio 20207 Luglio 2020 / Alessandro

Vuoi sapere come si svolgono le espressioni con le radici? Sei nel posto giusto!

Innanzitutto è bene precisare che le radici possono avere diversi indici: solitamente la maggior parte degli esercizi riportano le radici quadrate, quindi con indice 2.

Per eseguire le espressioni con le radici è importante ricordare le regole di svolgimento delle espressioni in generale.

Inoltre, ricordiamo che la radice è l’operazione opposta della potenza, ad esempio:

$4^2=16 \rightarrow\sqrt{16}=4$

$3^3=27 \rightarrow\sqrt[3]{27}=3$

e così via.

Considerando queste precisazioni, vediamo con qualche esempio lo svolgimento delle espressioni con le radici.

Esempio 1

$\sqrt{4+(7\cdot3)}+\left [ 13-(15\cdot3):5 \right ]=$

In questa espressione è presenta una radice quadrata (attenzione: la radice è applicata solamente ad una parte dei calcoli).

Nel primo passaggio è necessario svolgere le operazioni all’interno delle parentesi tonde, ottenendo così:

$\sqrt{4+21}+\left [ 13-45:5 \right ]=$

In seguito si svolge l’addizione all’interno della radice e la divisione all’interno della parentesi quadra:

$\sqrt{25}+\left [ 13-9 \right ]=$

Ora non resta che svolgere, nello stesso passaggio, sia la radice quadrata che la sottrazione all’interno delle parentesi quadre; in questo modo si ottiene:

$5+4=9$

Esempio 2

$\sqrt{[12+45:(3\cdot5)]\cdot(28-12):4+21}=$

L’espressione di questo esempio vede una radice quadrata al di sotto della quale è presente una serie di calcoli che vanno svolti secondo un ordine ben preciso; innanzitutto è necessario svolgere i calcoli all’interno delle due parentesi tonde, ottenendo:

$\sqrt{[12+45:15]\cdot16:4+21}=$

Ora si precede svolgendo i calcoli all’interno delle parentesi quadre, iniziando con la divisione:

$\sqrt{[12+3]\cdot16:4+21}=$

Nel prossimo passaggio possiamo togliere le parentesi quadre svolgendo l’addizione:

$\sqrt{15\cdot16:4+21}=$

Non sono presenti parentesi; di conseguenza si svolgono le operazioni restanti, procedendo con ordine (prima la moltiplicazione, poi la divisione, infine la somma):

$\sqrt{240:4+21}=$

$\sqrt{60+21}=$

$\sqrt{81}=9$

Non è ancora presente una videolezione sulle espressioni con le radici. Se lo desideri, puoi vedere questo video sulle espressioni con le frazioni e le radici quadrate.

Esercizi sui radicali

In questa pagina puoi trovare gli esercizi sui radicali, divisi per livelli di difficoltà all’interno di ogni argomento.

Somma algebrica di radicali (videolezione).

Quoziente di radicali con lo stesso indice

2 Gennaio 2020 / Alessandro

Il quoziente di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il quoziente di radicali con lo stesso indice è la seguente:

$\sqrt[a]{b} \ :\ \sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\ :\ c}$

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il quoziente, dividendo tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il quoziente è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

$\sqrt[5]{40}\ : \ \sqrt[5]{4}\ =$

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (5).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata dividendo tra loro i radicandi, ottenendo così:

$\sqrt[5]{40} \ : \ \sqrt[5]{4}\ = \sqrt[5]{40 \ :\ 4}= \sqrt[5]{10}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

$\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=$

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 2 (si tratta di radici quadrate).

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

$\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=\sqrt{80 \ : \ 20} =\sqrt{4}=2$

Esempio 3

$\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=$

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici cubiche (indice pari a 3).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

$\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{100 \ : \ 4 \ : \ 5} =\sqrt[3]{5}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

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Prodotto di radicali con lo stesso indice

29 Dicembre 201929 Dicembre 2019 / Alessandro

Il prodotto di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il prodotto di radicali con lo stesso indice è la seguente:

$\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\cdot\ c}$

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il prodotto, moltiplicando tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il prodotto è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ =$

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (3).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata moltiplicando tra loro i radicandi, ottenendo così:

$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ = \sqrt[3]{4\cdot5}= \sqrt[3]{20}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

$\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ =$

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 4.

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

$\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ = \sqrt[4]{27\cdot3}= \sqrt[4]{81}=3$

Esempio 3

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=$

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici quadrate (indice pari a 2).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}$

Il radicando ottenuto si può scomporre in fattori primi, in modo tale da portare alcuni fattori fuori radice:

$240= 2^{4}\cdot3\cdot5$

Essendo radice quadrata e avendo un fattore con esponente pari, è possibile portare il fattore stesso fuori radice, dividendo per 2 l’esponente; otteniamo così:

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}=\sqrt{2^{4}\cdot3\cdot5}=2^{2}\sqrt{3\cdot5}=4\sqrt{15}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

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Somma algebrica di radicali

20 Dicembre 2019 / Alessandro

La somma algebrica di radicali è una tipica operazione che è possibile svolgere con i radicali, ma ricordando alcune regole importanti.

Prima di tutto è importante chiarire che la somma algebrica di radicali è possibile solamente quando i radicali sono simili, cioè quando hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Sono radicali simili:

$3\sqrt{2}$ e $7\sqrt{2}$ , perché sono entrambe radici quadrate (indice 2) ed hanno radicando uguale (2);
$-4\sqrt[4]{5}$ e $+8\sqrt[4]{5}$ , perché sono entrambe radici con indice 4 ed hanno radicando uguale (5).

Chiarito questo importante concetto, vediamo ora come si calcola la somma algebrica di radicali, aiutati da qualche esempio.

Esempio 1

$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=$

In questa somma algebrica si può facilmente verificare che i tre radicali presenti sono tutti simili tra loro, poiché hanno tutti lo stesso indice (si tratta di radici quadrate) ed hanno lo stesso radicando (3).

Per calcolare il risultato di questa operazione è sufficiente sommare i valori che stanno al di fuori della radice, riportando poi la radice al termine del calcolo, cioè:

$(2+5-4)\sqrt{3}=$

Ora non resta che eseguire l’operazione all’interno delle parentesi, ottenendo così il risultato:

$3\sqrt{3}$

Esempio 2

$-5\sqrt{5}+4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8\sqrt{5}-5\sqrt{2}=$

In questa caso è bene fare attenzione: i radicali presenti hanno tutti lo stesso indice (radici quadrate), ma hanno radicando diverso.

Di conseguenza, vanno sommati algebricamente tra loro solamente i radicali simili (da una parte quelli con radicando 5, dall’altra quelli con radicando 2), applicando sempre il passaggio visto nell’esempio 1.

Si ottiene così:

$(-5+8)\sqrt{5}+(+4-6-5)\sqrt{2}=$

Si creano due gruppi, perché vanno tenuti distinti i radicali tra loro simili. Tra una parentesi e l’altra si inserisce il segno +, poiché è il segno neutro.

Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi si ottiene:

$+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}$

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Riduzione di radicali allo stesso indice

16 Febbraio 201931 Luglio 2019 / Alessandro

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

(quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[3]{2}$ e $\sqrt[4]{3}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[3]{2}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2⁴ = 16
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[12]{16}$

Consideriamo ora il secondo radicale: $\sqrt[4]{3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 3³ = 27
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{3}$ = $\sqrt[12]{27}$

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[8]{2^6}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

$\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}$

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra $\sqrt[4]{2^3}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$ .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2^3·15 = 2⁴⁵
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$ = $\sqrt[60]{2^{45}}$

Consideriamo il secondo radicale: $\sqrt[3]{17}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 17²⁰
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{17}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$

Consideriamo il terzo radicale: $\sqrt[5]{21}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 21¹²
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[5]{21}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$ = $\sqrt[60]{21^{12}}$

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!