Espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

15 Febbraio 2020 / Alessandro

Come si svolgono le espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze? Niente di più semplice!

Per risolvere correttamente questo tipo di espressioni è necessario ricordare alcune regole importanti:

come si svolgono le operazioni con le frazioni;
come si svolge una espressione con le frazioni in generale;
come si applicano le proprietà delle potenze in generale e le frazioni con le proprietà delle potenze.

Per capire bene come svolgere queste espressioni, ci facciamo aiutare da un esempio.

$\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (1-\frac{1}{2} \right )^4=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre: si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle tonde (addizione all’interno della prima parentesi e sottrazione all’interno dell’ultima parentesi):

$\left ( \frac{3+2}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{2-1}{2} \right )^4=$

Ora eseguiamo i calcoli, ottenendo quanto segue:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Osservando l’espressione possiamo notare una proprietà delle potenze che possiamo applicare facilmente: si tratta della potenza di potenza, applicabile nella parentesi quadra. Infatti è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti presenti (il 3 e il 2), ottenendo così:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+ \left (\frac{1}{2} \right )^6:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Ora è necessario svolgere le due divisioni presenti: in entrambi i casi si tratta di una divisione tra due potenze che hanno la stessa base, quindi è sufficiente sottrarre tra loro gli esponenti, mantenendo la stessa base. In questo modo avremo:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^1+ \left (\frac{1}{2} \right )^2=$

Applichiamo gli esponenti presenti alle frazioni all’interno delle parentesi:

$\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=$

Svolgiamo l’ultima operazione e troviamo il risultato di questa espressione:

$\frac{10+3}{12}=\frac{13}{12}$

Una videolezione con un altro esempio può essere di aiuto se hai ancora qualche dubbio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze!

Ecco altre videolezioni di matematica che possono esserti utili:

Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Frazioni con le proprietà delle potenze

5 Aprile 201931 Luglio 2019 / Alessandro

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =\left ( \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left ( \frac{2}{3}\right )^5$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\$

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =\left ( \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left ( \frac{5}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\$

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2= \left ( \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}= \left ( \frac{1}{2}\right )^6$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}$

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =\left ( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left ( \frac{3}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =\left ( \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left ( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left ( \frac{2}{3}\right )^3$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

23 Febbraio 201829 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate e svolgere correttamente le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze.

Esempio 1

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)³ − (+ 2)⁵] : (− 2)⁴ + (− 5)² =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)³ : (− 8)² =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)¹ =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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Esercizi sulle potenze

In questa pagina troverai molti esercizi sulle potenze di diversi livelli di difficoltà con soluzioni!

Inoltre, per ogni argomento, è presente un link alla videolezione per chiarire ogni eventuale dubbio!

Le potenze (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf;

Proprietà delle potenze (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf):
_Prima proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con la stessa base (videolezione);
_Seconda proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con la stessa base (videolezione);
_Terza proprietà delle potenze – Potenza di potenza (videolezione);
_Quarta proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con lo stesso esponente (videolezione);
_Quinta proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con lo stesso esponente (videolezione).

Espressioni con i numeri naturali e le proprietà delle potenze (videolezione):
_senza parentesi;
_con le parentesi tonde;
_con le parentesi tonde e quadre;
_con le parentesi tonde, quadre e graffe.

Notazione scientifica (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Ordine di grandezza (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Oltre alle videolezioni, su questo sito puoi trovare le lezioni collegate agli esercizi qui presenti. Eccole:

Proprietà delle potenze

11 Settembre 20159 Ottobre 2021 / Alessandro

Nelle espressioni aritmetiche e nelle espressioni algebriche compaiono spesso operazioni con le potenze che, almeno inizialmente, possono sembrare difficili o laboriose: le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono regole che permettono di risolvere in modo veloce e semplice le operazioni in cui compaiono le potenze.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempi

4² · 4⁴ = 4⁽²⁺⁴⁾ = 4⁶

7⁵ · 7³ = 7⁽⁵⁺³⁾ = 7⁸

Vai alla pagina degli esercizi sul prodotto di potenze con la stessa base!

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Definizione
La divisione tra due potenze che hanno la stessa base dà come risultato una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempi

6⁵ : 6³ = 6^(5-3) = 6²

2⁷ : 2⁴ = 2^(7-4) = 2³

Vai alla pagina degli esercizi sul quoziente di potenze con la stessa base!

3. Potenza di potenza

Definizione
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi

(6²)⁴ = 6^{(2 · 4)} = 6⁸

(5³)⁵ = 5^{(3 · 5)} = 5¹⁵

Vai alla pagina degli esercizi sulla potenza di potenza!

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi

4² · 7² = (4 · 7)² = 28²

3⁴ · 5⁴ = (3 · 5)⁴ = 15⁴

Vai alla pagina degli esercizi sul prodotto di potenze con lo stesso esponente!

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Definizione
La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente dà come risultato una potenza che ha per base la divisione delle basi per esponente lo stesso esponente.

Esempi

42⁵ : 6⁵ = (42 : 6)⁵ = 7⁵

81³ : 27³ = (81 : 27)³ = 3³

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Test a risposta multipla!

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Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)2 · (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

1. Prodotto di potenze con la stessa base

2. Quoziente di potenze con la stessa base

3. Potenza di potenza

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =