Espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

15 Febbraio 2020 / Alessandro

Come si svolgono le espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze? Niente di più semplice!

Per risolvere correttamente questo tipo di espressioni è necessario ricordare alcune regole importanti:

come si svolgono le operazioni con le frazioni;
come si svolge una espressione con le frazioni in generale;
come si applicano le proprietà delle potenze in generale e le frazioni con le proprietà delle potenze.

Per capire bene come svolgere queste espressioni, ci facciamo aiutare da un esempio.

$\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (1-\frac{1}{2} \right )^4=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre: si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle tonde (addizione all’interno della prima parentesi e sottrazione all’interno dell’ultima parentesi):

$\left ( \frac{3+2}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{2-1}{2} \right )^4=$

Ora eseguiamo i calcoli, ottenendo quanto segue:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Osservando l’espressione possiamo notare una proprietà delle potenze che possiamo applicare facilmente: si tratta della potenza di potenza, applicabile nella parentesi quadra. Infatti è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti presenti (il 3 e il 2), ottenendo così:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+ \left (\frac{1}{2} \right )^6:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Ora è necessario svolgere le due divisioni presenti: in entrambi i casi si tratta di una divisione tra due potenze che hanno la stessa base, quindi è sufficiente sottrarre tra loro gli esponenti, mantenendo la stessa base. In questo modo avremo:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^1+ \left (\frac{1}{2} \right )^2=$

Applichiamo gli esponenti presenti alle frazioni all’interno delle parentesi:

$\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=$

Svolgiamo l’ultima operazione e troviamo il risultato di questa espressione:

$\frac{10+3}{12}=\frac{13}{12}$

Una videolezione con un altro esempio può essere di aiuto se hai ancora qualche dubbio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze!

Ecco altre videolezioni di matematica che possono esserti utili:

Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Radice di una frazione

8 Aprile 201921 Agosto 2019 / Alessandro

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

$2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2$

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

$\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}$

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

$\sqrt[]{\frac{16}{25}}$

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

$\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}$

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

$\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}$

Esempio 2

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}$

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

$\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}$

Esempio 3

$\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}$

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

$\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}$

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

$\sqrt[]{\frac{16}{9}}}$

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

$\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}$

Questa che abbiamo appena presentato non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Frazioni con le proprietà delle potenze

5 Aprile 201931 Luglio 2019 / Alessandro

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =\left ( \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left ( \frac{2}{3}\right )^5$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\$

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =\left ( \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left ( \frac{5}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\$

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2= \left ( \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}= \left ( \frac{1}{2}\right )^6$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}$

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =\left ( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left ( \frac{3}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =\left ( \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left ( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left ( \frac{2}{3}\right )^3$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Potenza di una frazione

16 Febbraio 201921 Agosto 2019 / Alessandro

La potenza di una frazione è un’operazione da svolgere con attenzione, poiché si possono commettere alcuni errori importanti.

Per prima cosa è bene distinguere due casi:

Potenza di una frazione con esponente positivo
Potenza di una frazione con esponente negativo

Vediamo nel dettaglio come si affrontano.

1° caso – Potenza con esponente positivo

Questo è il caso più semplice; esso segue la regola seguente:

$\left ( \frac{N}{D} \right )^a=\frac{N^a}{D^a}$

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente positivo è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

$\left ( \frac{3}{2} \right )^2$	$\frac{3^2}{2^2}$	$\frac{9}{4}$
$\left ( \frac{1}{4} \right )^3$	$\frac{1^3}{4^3}$	$\frac{1}{64}$
$\left ( \frac{9}{5} \right )^1$	$\frac{9^1}{5^1}$	$\frac{9}{5}$
$\left ( \frac{10}{7} \right )^0$	$\frac{10^0}{7^0}$	$\frac{1}{1}= 1$

2° caso – Potenza con esponente negativo

Questo è il caso richiede maggiore attenzione (è possibile fare riferimento anche alla lezione sulle potenze con esponente negativo); esso segue la regola seguente:

$\left ( \frac{N}{D} \right )^{-a}=\left ( \frac{D}{N} \right )^{a}=\frac{D^a}{N^a}$

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente negativo è necessario, prima di tutto, invertire la posizione del numeratore con quella del denominatore, togliendo il segno meno dall’esponente; in seguito, si procede come nel primo caso, quindi è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

$\left ( \frac{4}{3} \right )^{-2}$	$\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}$	$\frac{3^2}{4^2}$	$\frac{9}{16}$
$\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3}$	$\left ( \frac{2}{3} \right )^{3}$	$\frac{2^3}{3^3}$	$\frac{8}{27}$
$\left ( \frac{11}{7} \right )^{-1}$	$\left ( \frac{7}{11} \right )^{1}$	$\frac{7^1}{11^1}$	$\frac{7}{11}$
$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}$	$\left ( \frac{2}{1} \right )^{5}$	$\frac{2^5}{1^5}$	$\frac{32}{1}=32$

Se la spiegazione che ti abbiamo presentato non ti è stata sufficientemente chiara, ti invitiamo a vedere la videolezione!

Questa che abbiamo appena presentato non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Potenze con esponente negativo

10 Marzo 201831 Luglio 2019 / Alessandro

Hai di fronte alcune potenze con esponente negativo e non sai come si svolgono? In questa lezione ti chiariremo ogni dubbio!

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale	Passaggio da svolgere	Reciproco
2	1 : 2 =	$\frac{1}{2}$
+ 5	1 : (+ 5) =	$+\frac{1}{5}$
− 8	1 : (− 8) =	$-\frac{1}{8}$
$\frac{3}{4}$	1 : $\frac{3}{4}$ = 1 · $\frac{4}{3}$ =	$\frac{4}{3}$
$+\frac{5}{7}$	1 : $\left ( +\frac{5}{7} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{7}{5} \right )$	$+\frac{7}{5}$
$-\frac{9}{13}$	1 : $\left ( -\frac{9}{13} \right )$ = 1 · $\left ( -\frac{13}{9} \right )$	$-\frac{13}{9}$
$+\frac{1}{10}$	1 : $\left ( +\frac{1}{10} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{10}{1} \right )$	+ 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

$\left ( a \right )^{-b}$

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

$\left ( \frac{1}{a} \right )^{b}$

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

$\left ( +2 \right )^{-3}$

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

$\left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

$+\frac{1}{8}$

Esempio 2

$\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}$

In questo esempio abbiamo la base $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

$\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

$+\frac{25}{4}$

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Le potenze

16 Ottobre 20152 Ottobre 2020 / Alessandro

Le potenze ti creano problemi? Ecco la lezione che fa per te!

Definizione di potenza

Dati una base ed un esponente, l’operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente.

a^b = c

con c = a ∙ a ∙ a … b volte

I termini dell’operazione di elevamento a potenza sono:

a – base
b – esponente
c – valore della potenza

Esempi di potenza:

2³ = 8 – infatti: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
5² = 25 – infatti: 5 ∙ 5 = 25
3⁴ = 81 – infatti: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81

Le potenze con esponente 2 si possono leggere “alla seconda” o “al quadrato”.

Le potenze con esponente 3 si possono leggere “alla terza” o “al cubo”.

Potenze particolari

Sono potenze che hanno sempre lo stesso valore.

Di seguito si riportano i diversi casi:

0 elevato qualsiasi numero (diverso da 0) dà come valore 0: 0ⁿ = 0, con n ≠ 0
1 elevato qualsiasi numero dà come valore 1: 1ⁿ = 1
Un numero (diverso da 0) elevato 0 dà come valore 1: n⁰ = 1, con n ≠ 0
Un numero elevato 1 dà come valore il numero iniziale: n¹ = n
0 elevato 0 non ha significato: 0⁰ = non ha significato

Se hai ancora dei dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale Youtube matematicaoggi!

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Test a risposta multipla!

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Esercizi di aritmetica

Una pagina dedicata interamente ad esercizi di aritmetica, divisi per argomenti e di diversi livelli di difficoltà, tutto con un click!

Esercizi sulle potenze

In questa pagina troverai molti esercizi sulle potenze di diversi livelli di difficoltà con soluzioni!

Inoltre, per ogni argomento, è presente un link alla videolezione per chiarire ogni eventuale dubbio!

Le potenze (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf;

Proprietà delle potenze (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf):
_Prima proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con la stessa base (videolezione);
_Seconda proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con la stessa base (videolezione);
_Terza proprietà delle potenze – Potenza di potenza (videolezione);
_Quarta proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con lo stesso esponente (videolezione);
_Quinta proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con lo stesso esponente (videolezione).

Espressioni con i numeri naturali e le proprietà delle potenze (videolezione):
_senza parentesi;
_con le parentesi tonde;
_con le parentesi tonde e quadre;
_con le parentesi tonde, quadre e graffe.

Notazione scientifica (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Ordine di grandezza (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Oltre alle videolezioni, su questo sito puoi trovare le lezioni collegate agli esercizi qui presenti. Eccole:

Proprietà delle potenze

11 Settembre 20159 Ottobre 2021 / Alessandro

Nelle espressioni aritmetiche e nelle espressioni algebriche compaiono spesso operazioni con le potenze che, almeno inizialmente, possono sembrare difficili o laboriose: le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono regole che permettono di risolvere in modo veloce e semplice le operazioni in cui compaiono le potenze.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempi

4² · 4⁴ = 4⁽²⁺⁴⁾ = 4⁶

7⁵ · 7³ = 7⁽⁵⁺³⁾ = 7⁸

Vai alla pagina degli esercizi sul prodotto di potenze con la stessa base!

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Definizione
La divisione tra due potenze che hanno la stessa base dà come risultato una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempi

6⁵ : 6³ = 6^(5-3) = 6²

2⁷ : 2⁴ = 2^(7-4) = 2³

Vai alla pagina degli esercizi sul quoziente di potenze con la stessa base!

3. Potenza di potenza

Definizione
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi

(6²)⁴ = 6^{(2 · 4)} = 6⁸

(5³)⁵ = 5^{(3 · 5)} = 5¹⁵

Vai alla pagina degli esercizi sulla potenza di potenza!

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi

4² · 7² = (4 · 7)² = 28²

3⁴ · 5⁴ = (3 · 5)⁴ = 15⁴

Vai alla pagina degli esercizi sul prodotto di potenze con lo stesso esponente!

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Definizione
La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente dà come risultato una potenza che ha per base la divisione delle basi per esponente lo stesso esponente.

Esempi

42⁵ : 6⁵ = (42 : 6)⁵ = 7⁵

81³ : 27³ = (81 : 27)³ = 3³

Vai alla pagina degli esercizi sul quoziente di potenze con lo stesso esponente!

Test a risposta multipla!

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