minimo comune multiplo

Riduzione di radicali allo stesso indice

/ Alessandro

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

  • (quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
  • calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
  • trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{3}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[3]{2}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 24 = 16
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{16}

Consideriamo ora il secondo radicale: \sqrt[4]{3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 33 = 27
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{27}

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[8]{2^6} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra \sqrt[4]{2^3} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21} .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[4]{2^3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 23·15 = 245
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[60]{2^{45}}

Consideriamo il secondo radicale: \sqrt[3]{17}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 1720
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{17} = \sqrt[60]{17^{20}}

Consideriamo il terzo radicale: \sqrt[5]{21}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2112
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[5]{21} = \sqrt[60]{17^{20}} = \sqrt[60]{21^{12}}

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!