Angolo somma e angolo differenza

29 Luglio 2021 / Alessandro

Cosa si intende per angolo somma? E per angolo differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con gli angoli, quelli in cui viene chiesto di determinare l’angolo somma e l’angolo differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due angoli iniziali, α e β:

Angolo somma

Per determinare l’angolo somma degli angoli α e β è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di disegnare gli angoli α e β in modo consecutivo, facendo corrispondere il secondo lato del primo angolo con il primo lato del secondo angolo, misurando poi l’ampiezza dell’angolo finale;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando l’angolo che si crea unendo i due angoli iniziali α e β (consecutivi):

L’angolo somma di α e β è ora quello rappresentato in figura (possiamo chiamarlo δ).

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che gli angoli α e β abbiano le seguenti ampiezze:

α = 60°
β = 40°

L’angolo somma si ottiene sommando i valori:

α + β = 60° + 40° = 100°

Angolo differenza

Per determinare l’angolo differenza degli angoli α e β è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di disegnare l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il primo lato di ognuno, misurando poi l’ampiezza dell’angolo che si crea tra i secondi lati dei due angoli;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Rappresentiamo con un disegno l’angolo differenza di α e β, utilizzando il metodo grafico (disegniamo l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il lato superiore):

L’angolo differenza di α e β è indicato come angolo γ.

Ricordando le ampiezze di α e β, rispettivamente 60° e 40°, l’angolo differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

α – β = 60° – 40° = 20°

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Segmento somma e segmento differenza

27 Luglio 202114 Agosto 2022 / Alessandro

Cosa si intende per segmento somma? E per segmento differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con i segmenti, quelli in cui viene chiesto di determinare il segmento somma e il segmento differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due segmenti iniziali, AB e CD:

Segmento somma

Per determinare il segmento somma dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di disegnare i segmenti AB e CD in modo adiacente, facendo corrispondere il secondo punto del primo segmento con il primo punto del secondo segmento, misurando poi la lunghezza del segmento finale;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando il segmento che si crea unendo i due segmenti iniziali AB e CD (adiacenti):

Il segmento somma di AB e CD è ora AD.

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che i segmenti AB e CD abbiano le seguenti lunghezze:

AB = 5 cm
CD = 3 cm

Il segmento somma si ottiene sommando i valori:

AB + CD = 5 + 3 = 8 cm

Segmento differenza

Per determinare il segmento differenza dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

il metodo grafico, che prevede di tracciare la proiezione ortogonale del secondo punto del segmento minore sul segmento maggiore, misurando poi il segmento che si ottiene;
il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Rappresentiamo con un disegno il segmento differenza di AB e CD, utilizzando il metodo grafico (proiettiamo ortogonalmente il punto D sul segmento AB, chiamandolo punto E):Il segmento differenza di AB e CD è EB.

Ricordando le misure di AB e CD, rispettivamente 5 cm e 3 cm, il segmento differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

AB – CD = 5 – 3 = 2 cm

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Equazione della retta passante per un punto

6 Luglio 2021 / Alessandro

Se stai cercando come determinare l’equazione della retta passante per un punto, sei nel posto giusto!

Innanzitutto si parte dalla formula generica, cioè l’equazione della retta passante per un punto dato (che chiameremo P):

$y-y_p=m(x-x_p)$

in cui:

$m$ rappresenta il coefficiente angolare, che indica l’inclinazione della retta da determinare;
$x_p$ e $y_p$ sono le coordinate del punto P.

Conoscendo le coordinate del punto P e il coefficiente angolare è possibile determinare l’equazione della retta passante per quel punto, semplicemente sostituendo i valori nell’equazione.

Vediamo ora alcuni esempi.

Esempio 1

Determinare l’equazione della retta passante per il punto A = (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Riportiamo i dati del nostro esercizio:

$A=(3,4)\rightarrow x_A=3$ e $y_A=4$
$m=+2$

Sostituiamo nell’equazione generica $y-y_p=m(x-x_p)$ i valori sopra riportati:

$y-4=+2(x-3)$

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro e portiamo a destra il $-4$ cambiandolo di segno:

$y=+2x-6+4$

Ora è sufficiente sommare algebricamente $-6$ e $+4$ :

$y=+2x-2$

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per il punto A di coordinate (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Ma è corretto? Possiamo verificarlo graficamente!

Innanzitutto è necessario disegnare la retta su un piano cartesiano: per farlo sono necessari due punti, quindi scegliamo a piacere due valori di ascissa e determiniamo le ordinate corrispondenti. In questo modo troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse $+1$ e $+4$ :

Ascissa scelta (x)	Ordinata corrispondente (y)	Punto sul grafico
$+1$	$y=+2x-2=+2\cdot(+1)-2=+2-2=0$	$B=(+1,0)$
$+4$	$y=+2x-2=+2\cdot(+4)-2=+8-2=+6$	$C=(+4,+6)$

Ora che abbiamo determinato i punti B e C, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Il punto A = (3, 4) appartiene alla retta appena tracciata? Proviamo a posizionarlo sul piano e verifichiamo se è corretto!

Effettivamente il punto A appartiene alla retta tracciata sul piano cartesiano, quindi l’equazione che abbiamo determinato è corretta.

Esempio 2

Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e con coefficiente angolare uguale a – 3.

In questo esempio si parla di retta passante per l’origine: in questo caso si fa riferimento all’origine degli assi, cioè il punto O (0, 0). Riportiamo, quindi, i dati del nostro esercizio:

$O=(0,0)\rightarrow x_O=0$ e $y_O=0$
$m=-3$

Sostituiamo nell’equazione generica $y-y_p=m(x-x_p)$ i valori sopra riportati:

$y-0=-3(x-0)$

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro:

$y=-3x$

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e con coefficiente angolare uguale a – 3.

Anche in questo caso possiamo verificare la correttezza del risultato, disegnando la retta su un piano cartesiano: scegliamo due valori di ascissa a piacere e determiniamo le ordinate corrispondenti. Troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse $-1$ e $-2$ :

Ascissa scelta (x)	Ordinata corrispondente (y)	Punto sul grafico
$-1$	$y=-3x=-3\cdot(-1)=+3$	$A=(-1,+3)$
$-2$	$y=-3x=-3\cdot(-2)=+6$	$B=(-2,+6)$

Ora che abbiamo determinato i punti A e B, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Con questo disegno possiamo già verificare che la retta appena tracciata passa per l’origine degli assi, quindi per il punto O (0, 0). Lo fissiamo ugualmente per completezza:

Ora che il grafico è completo, possiamo confermare che l’equazione che abbiamo determinato è corretta.

Se hai ancora dubbi su come si calcola la retta passante per un punto, guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

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Divisione di angoli

5 Luglio 2021 / Alessandro

La divisione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per eseguire una divisione di angoli si parte sempre dai numeri a sinistra, quindi si inizia dividendo i gradi; in seguito si passa ai primi; infine si dividono i secondi. Nel calcolo si possono verificare due situazioni:

La divisione è esatta (cioè il dividendo è multiplo del divisore): è il caso più semplice, quindi si può passare alla divisione successiva.
La divisione non è esatta (cioè il dividendo non è multiplo del divisore, quindi si ha un resto): è il caso che richiede qualche attenzione in più, poiché il resto va trasformato e riportato nella misura a destra.

Trovarsi nel secondo caso sembra complicato, ma vediamo con qualche esempio di chiarire i dubbi.

Esempio 1

24° 58′ 46” : 2 =

La divisione di questo esempio è molto semplice: come si può facilmente vedere, i numeri che compongono la misura dell’angolo sono tutti pari, quindi – dovendo dividere per 2 – non ci saranno particolari problemi.

Procediamo con la divisione, partendo dai gradi; passeremo poi ai primi e, infine, ai secondi.

24° 58′ 46” : 2 = 12° 29′ 23”

Esempio 2

39° 13′ 27” : 3 =

La divisione di questo esempio necessita di attenzione: il valore dei primi non è divisibile per 3 (lo sono, invece, quello dei gradi e dei secondi). Nel momento in cui divideremo i primi per 3, il resto lo trasformeremo in secondi e andremo a sommarlo ai secondi iniziali:

39° 13′ 27” : 3 = 13° 4′ 29”
1′ = 60”
87”

13′ diviso 3 risulta 4′ con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 27”, ottenendo 87”; la divisione 87” : 3 porta ad ottenere 29”.

13° 4′ 29” è il risultato finale della divisione.

Esempio 3

45° 29′ 16” : 4 =

Anche questa divisione necessita di attenzione: infatti, gradi e primi non sono divisibili per 4. Nel momento in cui procederemo con le divisioni, il resto dei gradi lo trasformeremo in primi e il resto dei primi lo trasformeremo in secondi, sommandoli a quelli iniziali:

45° 29′ 16” : 4 = 11° 22′ 19”
..1° = 60′
89′
…….. …..1′ = 60”
………… ……….76”

45° diviso 4 risulta 11°, con resto 1°. Sapendo che 1° = 60′, questi vengono sommati a 29′, ottenendo 89′.

89′ diviso 4 risulta 22′, con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 16”, ottenendo 76”: la divisione 76” : 4 porta ad ottenere 19”.

11° 22′ 19” è il risultato finale della divisione.

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Moltiplicazione di angoli

30 Giugno 202124 Ottobre 2021 / Alessandro

La moltiplicazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per svolgere una moltiplicazione di angoli è sufficiente moltiplicare il valore di secondi, primi e gradi per le volte richieste: una volta ottenuto il risultato è necessario verificare che questo sia ridotto in forma normale, cioè che i primi e i secondi dell’angolo abbiano un valore inferiore a 60.

Esempio 1

34° 21′ 17” · 2 =

La moltiplicazione di questo esempio è molto semplice: l’angolo va moltiplicato per 2, cioè otterremo il doppio dell’angolo iniziale. Si procede moltiplicando ogni valore, così come segue:

34°	21′	17”	·
		2	=
68°	42′	34”

I valori dei primi e dei secondi che risultano dalla moltiplicazione sono entrambi inferiori a 60: di conseguenza l’angolo è già ridotto in forma normale, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

15° 22′ 18” · 3 =

Anche in questo caso la moltiplicazione è semplice: l’angolo va moltiplicato per 3, quindi otterremo il triplo dell’angolo iniziale. Procediamo moltiplicando per 3 ogni valore:

15°	22′	18”	·
		3	=
45°	66′	54”

Il valore dei primi è superiore a 59: di conseguenza l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale. Procediamo riducendo i primi (togliamo 60′ a 66′) e aggiungendo 1° a 45° (poiché 60′ = 1°):

15°	22′	18”	·
		3	=
45°	66′	54”	–
	60′		=
46°	6′	54”

L’angolo ottenuto, 46° 6′ 54” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.

Esempio 3

39′ 52” · 6 =

Rispetto agli angoli degli esempi precedenti, questo è espresso in primi e secondi, ma il passaggio iniziale non cambia: si procede moltiplicando per 6 i valori:

39′	52”	·
	6	=
234′	312”

Come si può facilmente vedere, sia i primi che i secondi hanno un valore maggiore di 59, quindi l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale.

Innanzitutto procediamo riducendo i secondi: facendo la tabellina del 6 possiamo facilmente capire che è necessario togliere 5 volte 60, cioè 300′; questo significa che aggiungeremo 5′ a 234′:

39′	52”	·
	6	=
234′	312”	–
	300”	=
239′	12”

In seguito procediamo riducendo i primi: facendo sempre la tabellina del 6 possiamo capire che è necessario togliere 3 volte 60, cioè 180′; questo significa che otterremo 3°:

	39′	52”	·
		6	=
	234′	312”	–
		300”	=
	239′	12”	–
	180′		=
3°	59′	12”

L’angolo ottenuto, 3° 59′ 12” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.

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Sottrazione di angoli

29 Giugno 2021 / Alessandro

La sottrazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

La sottrazione di angoli è un’operazione che non dà alcuna preoccupazione se i valori da togliere sono minori del minuendo: in caso contrario è bene fare attenzione, perché sarà necessario andare in prestito.

Nello specifico, se il valore da sottrarre è maggiore del minuendo si rende necessario un prestito dal valore che si trova a sinistra della sottrazione:

nel caso in cui siano necessari secondi, si dovrà chiedere in prestito ai primi; verranno così aggiunti 60” e i primi diminuiscono di una unità.
Analogamente, se sono necessari dei primi, si dovrà chiedere in prestito ai gradi; verranno così aggiunti 60′ e i gradi diminuiscono di una unità.

Sembra complicato, ma con qualche esempio tutto sarà più chiaro.

Esempio 1

48° 55′ 59” – 16° 32′ 12” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

48°	55′	59”	–
16°	32′	12”	=
32°	23′	47”

I valori del secondo angolo (sottraendo della sottrazione) sono tutti minori rispetto a quelli del primo angolo (minuendo della sottrazione): di conseguenza il calcolo è stato svolto agevolmente senza che fosse necessario andare in prestito.

Esempio 2

87° 28′ 52” – 41° 56′ 38” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti:

87°	28′	52”	–
41°	56′	38”	=

Notiamo subito che il valore dei primi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quello del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito dai gradi.

Andando in prestito di un grado, otteniamo 60′; toglieremo 1° da 87° e aggiungeremo 60′ a 28′ (cioè 88′), ottenendo così:

~~87°~~

86°

~~28′~~

88′

52”

–

41°

56′

38”

45°

32′

14”

Esempio 3

101° – 65° 12′ 45” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti (considerando che il primo angolo non presenta primi e secondi, scriveremo 00′ e 00”):

101°	00′	00”	–
65°	12′	45”	=

Sia il valore dei primi che dei secondi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quelli del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito.

Innanzitutto andremo in prestito di un grado, ottenendo così 60′ (101° diventano 100°); inoltre, prenderemo in prestito un primo per avere 60” (60′ diventeranno 59′):

~~101°~~

100°

~~60′~~

59′

60”

–

65°

12′

45”

35°

47′

15”

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Addizione di angoli

25 Giugno 202122 Luglio 2021 / Alessandro

L’addizione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Il primo, eventuale, passaggio per eseguire un’addizione di angoli consiste nel verificare se le misure degli angoli con cui abbiamo a che fare sono ridotte in forma normale: significa che i primi e i secondi di ogni angolo devono avere un valore inferiore a 60. Qualche esempio:

12° 24′ 45” è ridotto in forma normale.
78° 112′ 48” non è ridotto in forma normale, poiché i primi (112′) hanno un valore superiore a 59.
45° 79′ 234” non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi (79′) che i secondi (234”) hanno un valore superiore a 59.

Per trovare la somma di due o più angoli è necessario impostare l’operazione nel modo corretto, cioè:

mettere in colonna i secondi, i primi e i gradi ed eseguire la somma;
scrivere in forma normale il risultato ottenuto (nel caso in cui i primi e/o i secondi abbiano un valore maggiore di 59).

Esempio 1

22° 15′ 23” + 34° 24′ 19” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

22°	15′	23”	+
34°	24′	19”	=
56°	39′	42”

L’angolo ottenuto è già ridotto in forma normale, poiché i primi e i secondi hanno un valore inferiore a 59, quindi 56° 39′ 42” è il risultato finale.

Esempio 2

45° 57′ 39” + 29° 48′ 32” =

Risolviamo questa addizione di angoli allineando correttamente i valori corrispondenti:

45°	57′	39”	+
29°	48′	32”	=
74°	105′	71”

L’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi che i secondi hanno un valore superiore a 59, quindi è necessario procedere con la riduzione.

Iniziamo sottraendo 60”:

45°	57′	39”	+
29°	48′	32”	=
74°	105′	71”	–
		60”	=
74°	106′	11”

Ricordando che 60” = 1′, abbiamo aggiunto 1′ a 105′, ottenendo 106′. Anche questo valore è superiore a 59, quindi proseguiamo sottraendo 60′:

45°	57′	39”	+
29°	48′	32”	=
74°	105′	71”	–
		60”	=
74°	106′	11”	–
	60′		=
75°	46′	11”

Ricordando, infine, che 60′ = 1°, abbiamo aggiunto 1° a 74°, ottenendo 75°.

Ora il risultato ottenuto è definitivo poiché 75° 46′ 11” è un angolo ridotto in forma normale.

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Problemi sul cubo

12 Maggio 2021 / Alessandro / Lascia un commento

Devi svolgere alcuni problemi sul cubo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!

Problema 1: Un cubo ha lo spigolo che misura 12 cm. Calcola la superficie laterale.

Dati:	Richieste:
Spigolo (s) = 12 cm	Superficie laterale (S_l)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie laterale del cubo:

$S_l=4\cdot s^2$

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 4, considerando che la superficie laterale di un cubo è formata da 4 facce. Applicando la formula si ottiene:

$S_l=4\cdot s^2=4\cdot 12^2=4\cdot 144=576cm^2$

Problema 2: determina l’area totale di un cubo, sapendo che lo spigolo misura 8 cm.

Dati:	Richieste:
Spigolo (s) = 8 cm	Superficie totale (S_t)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie totale del cubo:

$S_t=6\cdot s^2$

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 6, considerando che la superficie totale di un cubo è formata da 6 facce. Applicando la formula si ottiene:

$S_l=6\cdot s^2=6\cdot 8^2=6\cdot 64=384cm^2$

Problema 3: quanto misura il volume di un cubo che ha lo spigolo di 15 cm?

Dati:	Richieste:
Spigolo (s) = 15 cm	Volume (V)?

Questo problema si svolge applicando la formula diretta del volume del cubo:

$V=s^3$

Applicando la formula si ottiene:

$V=s^3=15^3=3375cm^3$

Problema 4: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area laterale è di 100 cm².

Dati:	Richieste:
Superficie laterale (S_l) = 100 cm²	Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie laterale:

$s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}$

Applicando la formula si ottiene:

$s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5cm$

Problema 5: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area totale è di 294 cm².

Dati:	Richieste:
Superficie totale (S_t) = 294 cm²	Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie totale:

$s=\sqrt{\frac{S_l}{6}}$

Applicando la formula si ottiene:

$s=\sqrt{\frac{S_t}{6}}=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7cm$

Problema 6: Quanto misura lo spigolo di un cubo il cui volume è di 2197 cm³?

Dati:	Richieste:
Volume (V) = 2197 cm³	Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa del volume:

$s=\sqrt[3]{V}$

Applicando la formula si ottiene:

$s=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{2197}=13cm$

Questi sono solo alcuni dei problemi sul cubo: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!

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Problemi sul parallelogramma

30 Dicembre 2020 / Alessandro / 8 commenti

Devi svolgere alcuni problemi sul parallelogramma? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!

Problema 1: Un parallelogramma ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 15 cm e 8 cm. Calcola l’area del parallelogramma.

Dati:

Richieste:

Base (b) = 15 cm

Altezza (h) = 8 cm

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta dell’area del parallelogramma:

$Area=b\cdot h$

Applicando la formula si ottiene:

$Area=b\cdot h=15\cdot8=120cm^2$

Problema 2: Un parallelogramma ha la base e il LATO OBLIQUO che misurano, rispettivamente, 20 cm e 12 cm. Calcola IL PERIMETRO del parallelogramma.

Dati:

Richieste:

Base (b) = 20 cm

Lato obliquo (l) = 12 cm

Perimetro?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta del perimetro del parallelogramma:

$Perimetro=2\cdot(b+l)$

Applicando la formula si ottiene:

$Perimetro=2\cdot(b+l)=2\cdot(20+12)=2\cdot32=64cm$

Problema 3: Un parallelogramma ha l’altezza che misura 10 cm. Calcola l’area, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.

Dati:

Richieste:

b = 2 · h

h = 10 cm

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma, è necessario calcolare la misura della base:

$b=2\cdot h=2\cdot10=20cm$

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

$Area=b\cdot h=20\cdot10=200cm^2$

Nota: in altri problemi simili a questo viene indicata la misura di una delle dimensioni, mentre l’altra è la sua metà (ad es. la base misura 20 cm, mentre l’altezza è la sua metà); in questo caso è sufficiente dividere per 2 la misura indicata, per trovare quella della dimensione mancante. Fatto questo, si applica la formula diretta per calcolare l’area.

Problema 4: La base di un parellelogramma misura 20 cm e l’altezza è i suoi 3/4. Calcola l’area del parallelogramma.

Dati:

Richieste:

b = 20 cm

h = $\frac{3}{4}$ b

Area?

I problemi in cui compaiono le frazioni sembrano complicati: in realtà non devono spaventare! In questo problema esiste un rapporto tra base e altezza, cioè l’altezza ha un legame matematico con la base, rappresentato da una frazione: l’altezza è i tre quarti della base.

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

$h=\frac{3}{4}b=(b\cdot3):4=(20\cdot3):4=60:4=15cm$

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

$Area=b\cdot h=20\cdot15=300cm^2$

Problema 5: in un parallelogramma la base è 3/2 dell’altezza, mentre la loro somma è 50 cm. Calcola l’area del parallelogramma.

Dati:

Richieste:

b + h = 50 cm

b = $\frac{3}{2}$ h

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 3 parti del totale e l’altezza 2 parti del totale.

La somma, 50 cm, è rappresentata da 3 parti + 2 parti, quindi 5 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

$b=50:(3+2)\cdot3=50:5\cdot3=30cm$

$h=50:(3+2)\cdot2=50:5\cdot2=20cm$

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

$Area=b\cdot h=30\cdot20=600cm^2$

Problema 6: Calcola il perimetro e l’area di un PARALLELOGRAMMA, sapendo che la base è 4/3 dell’altezza, che la loro differenza misura 8 cm E CHE IL LATO OBLIQUO MISURA 26 CM.

Dati:

Richieste:

b – h = 8 cm

b = $\frac{4}{3}$ h

l = 26 cm

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (8 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 4 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 8 cm, è rappresentata da 4 parti – 3 parti, quindi 1 parte: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

$b=8:(4-3)\cdot4=8:1\cdot4=32cm$

$h=8:(4-3)\cdot3=8:1\cdot3=24cm$

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del parallelogramma:

$Perimetro=2\cdot(b+l)=2\cdot(32+26)=2\cdot58=116cm$

$Area=b\cdot h=32\cdot24=768cm^2$

Questi sono solo alcuni dei problemi sul parallelogramma: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!

Vai agli esercizi sul parallelogramma!

Punto medio di un segmento

6 Agosto 2020 / Alessandro

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare le coordinate del punto medio di un segmento.

Per determinare le coordinate del punto medio di un segmento sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane dei due estremi del segmento stesso.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

$A(x_{A}; y_{A})$

$B(x_{B}; y_{B})$

Le coordinate del punto medio del segmento che si ottiene unendo A con B si determinano utilizzando le seguenti formule:

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$

Utilizzando queste formule si ottengono, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del punto medio M.

Vediamo un paio di esempi per applicare le formule sopra indicate.

Esempio 1

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

$A(4;6)$

$B(14;2)$

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4+14}{2}=\frac{18}{2}=9$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

$M(9;4)$

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.

Esempio 2

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

$A(4;-3)$

$B(-2;-1)$

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

$M(1;-2)$

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.

Per chiarire eventuali altri dubbi, ecco una videolezione semplice ed efficace!

Differenza di due angoli e loro rapporto

4 Agosto 2020 / Alessandro

Differenza di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza delle ampiezze di due angoli è 12° e uno è i $\frac{4}{3}$ dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

$\alpha$ – $\beta$ = 12° – cioè la differenza delle ampiezza dei due angoli
$\alpha$ = $\frac{4}{3}$ $\beta$ – cioè il rapporto tra i due angoli

$\alpha$ e $\beta$ rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra $\alpha$ e $\beta$ è $\frac{4}{3}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

$\alpha$ : $\beta$ = 4 : 3

In più, sappiamo che $\alpha$ – $\beta$ = 12°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

( $\alpha$ – $\beta$ ) : $\alpha$ = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 12° dentro la parentesi ( $\alpha$ – $\beta$ ), ottenendo:

12° : $\alpha$ = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere $\alpha$ , applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

$\alpha$ = (12° · 4) : 1 = 48°

Di conseguenza, $\beta$ si può ottenere per differenza, cioè:

$\beta$ = 48° – 12° = 36°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra $\alpha$ e $\beta$ è $\frac{4}{3}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Sapendo che $\alpha$ – $\beta$ = 12°, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 12°.

Considerando che 1 unità vale 12° e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dell’ampiezza dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 12° per le unità di ogni segmento, cioè:

12° · 4 = 48° = $\alpha$

12° · 3 = 36° = $\beta$

Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due angoli e loro rapporto!

Somma di due angoli e loro rapporto

30 Luglio 202017 Gennaio 2021 / Alessandro

Somma di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma delle ampiezze di due angoli è 70° e uno è i $\frac{3}{4}$ dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

$\alpha$ + $\beta$ = 70° – cioè la somma delle ampiezze dei due angoli
$\alpha$ = $\frac{3}{4}$ $\beta$ – cioè il rapporto tra i due angoli

$\alpha$ e $\beta$ rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra $\alpha$ e $\beta$ è $\frac{3}{4}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

$\alpha$ : $\beta$ = 3 : 4

In più, sappiamo che $\alpha$ + $\beta$ = 70°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

( $\alpha$ + $\beta$ ) : $\alpha$ = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70° dentro la parentesi ( $\alpha$ + $\beta$ ), ottenendo:

70° : $\alpha$ = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere $\alpha$ , applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

$\alpha$ = (70° · 3) : 7 = 30°

Di conseguenza, $\beta$ si può ottenere per differenza, cioè:

$\beta$ = 70° – 30° = 40°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra le ampiezze di $\alpha$ e $\beta$ è $\frac{3}{4}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Sapendo che $\alpha$ + $\beta$ = 70°, si può disegnare il segmento somma dei due angoli iniziali, ottenendo:

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma delle ampiezze dei due angoli incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70° : 7 = 10°

Sapendo che 1 unità vale 10° e che gli angoli iniziali sono ampi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura delle ampiezze dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 10° per le unità di ogni segmento, cioè:

10° · 3 = 30° = $\alpha$

10° · 4 = 40° = $\beta$

Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi su somma di due angoli e loro rapporto!

Multipli e sottomultipli di un angolo

29 Luglio 202011 Febbraio 2021 / Alessandro

Multipli e sottomultipli di un angolo: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un angolo (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un angolo (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un angolo perché, partendo da un angolo iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte l’angolo iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte l’angolo iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un angolo perché, sapendo la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura $\frac{1}{4}$ dell’ampiezza dell’angolo iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio dell’angolo significa “due volte” l’angolo iniziale, cioè:

23° · 2 = 46° (doppio)

Il triplo dell’angolo iniziale significa “tre volte” l’angolo iniziale, quindi:

23° · 3 = 69° (triplo)

Esempio 2

Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

La metà dell’angolo iniziale si ottiene dividendo la misura dell’ampiezza per 2 (oppure moltiplicando per $\frac{1}{2}$ ), cioè:

44° : 2 = 22° (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale (oppure moltiplicando per $\frac{1}{4}$ ), quindi:

44° : 4 = 11° (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un angolo.

Multipli di un angolo

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
Il doppio dell’angolo	Si moltiplica per 2 α = 10° Doppio di α → 10° · 2 = 20°
Il triplo dell’angolo	Si moltiplica per 3 β = 8° Triplo di β → 8° · 3 = 24°
Il quadruplo dell’angolo	Si moltiplica per 4 γ = 12° Quadruplo di γ → 12° · 4 = 48°
Il quintuplo dell’angolo	Si moltiplica per 5 δ = 9° Quintuplo di δ → 9° · 5 = 45°
…	…

Sottomultipli di un angolo

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
La metà dell’angolo	Si divide per 2 o si moltiplica per $\frac{1}{2}$ α = 16° Metà di α → 16° : 2 = 8°
La terza parte dell’angolo	Si divide per 3 o si moltiplica per $\frac{1}{3}$ β = 24° Terza parte di β → 24° : 3 = 8°
La quarta parte dell’angolo	Si divide per 4 o si moltiplica per $\frac{1}{4}$ γ = 40° Quarta parte di γ → 40° : 4 = 10°
La quinta parte dell’angolo	Si divide per 5 o si moltiplica per $\frac{1}{5}$ δ = 55° Quinta parte di δ → 55° : 5 = 11°
…	…

Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi su multipli e sottomultipli di un angolo!

Problemi con somma e differenza di due angoli

28 Luglio 2020 / Alessandro

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due angoli, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere i valori della somma e della differenza di due angoli $\alpha$ e $\beta$ :

$S=\alpha+\beta$
$D=\alpha-\beta$

con $\beta<\alpha$

Come si trova l’ampiezza dei due angoli?

Ecco le due formule risolutive:

$\alpha=\frac{S+D}{2}$

$\beta=\frac{S-D}{2}$

Nell’immagine che segue sono rappresentati due angoli esempio.

Vediamo ora un paio di esempi di problemi con somma e differenza di due angoli (per una dimostrazione matematica dello svolgimento di questo problema, vai alla lezione sui problemi con somma e differenza di due numeri).

Esempio 1

Determinare l’ampiezza di due angoli, sapendo che la loro somma è di 70° mentre la loro differenza è di 20°.

Innanzitutto indichiamo i dati di questo problema:

$S=\alpha+\beta=70$ °

$D=\alpha-\beta=20$ °

Consideriamo che $\beta<\alpha$ .

Come scritto in precedenza, lo svolgimento di questo problema è molto semplice: è sufficiente, infatti, applicare le due formule risolutive, che permettono di ottenere l’ampiezza dei due angoli incogniti.

Procediamo, quindi, applicando le formule:

$\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{70+20}{2}=\frac{90}{2}=45$ °

$\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{70-20}{2}=\frac{50}{2}=25$ °

La somma dei due valori ottenuti è effettivamente 70° (45° + 25° = 70°); lo stesso vale per la differenza, cioè 20° (45° – 25° = 20°), quindi i valori ottenuti sono corretti.

Esempio 2

Due angoli sono tali che la loro somma è di 95° e la loro differenza è di 29°. Qual è l’ampiezza dei due angoli?

Come per il primo esempio, indichiamo i dati di questo problema:

$S=\alpha+\beta=95$ °

$D=\alpha-\beta=29$ °

Consideriamo che $\beta<\alpha$ .

Anche in questo caso applichiamo le due formule risolutive:

$\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{95+29}{2}=\frac{124}{2}=62$ °

$\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{95-29}{2}=\frac{66}{2}=33$ °

Verifichiamo i valori ottenuti: la somma delle ampiezze è effettivamente 95° (62° + 33° = 95°); lo stesso vale per la differenza, cioè 29° (62° – 33° = 29°), quindi i valori ottenuti sono corretti.

Se gli esempi ti hanno aiutato a capire bene l’argomento, vai alla pagina degli esercizi sui problemi con somma e differenza di due angoli.

Differenza di due segmenti e loro rapporto

15 Luglio 202011 Dicembre 2020 / Alessandro

Differenza di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza di due segmenti è 8 cm e uno è i $\frac{4}{3}$ dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

n₁ – n₂ = 8 – cioè la differenza delle misure dei due segmenti
n₁ = $\frac{4}{3}$ n₂– cioè il rapporto tra i due segmenti

n₁ e n₂ rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{4}{3}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n₁ : n₂ = 4 : 3

In più, sappiamo che n₁ – n₂ = 8. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n₁ – n₂) : n₁ = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 8 dentro la parentesi (n₁ – n₂), ottenendo:

8 : n₁ = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere n₁, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n₁ = (8 · 4) : 1 = 32

Di conseguenza, n₂ si può ottenere per differenza, cioè:

n₂ = 32 – 8 = 24

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{4}{3}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Sapendo che n₁ – n₂ = 8, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 8.

Considerando che 1 unità vale 8 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 8 per le unità di ogni segmento, cioè:

8 · 4 = 32 = n₁

8 · 3 = 24 = n₂

Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due segmenti e loro rapporto!

Problemi sul quadrato

14 Luglio 2020 / Alessandro / 2 commenti

Devi svolgere alcuni problemi sul quadrato? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!

Problema 1: Un quadrato ha il lato che misura 10 cm. Calcola perimetro e area.

Dati:

Richieste:

Lato (l) = 10 cm

Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del quadrato:

$Perimetro=4\cdot l$

$Area=l^2$

Applicando le formule si ottiene:

$Perimetro=4\cdot l=4\cdot10=40cm$

$Area=l^2=10^2=100cm^2$

Problema 2: determina la misura del lato di un quadrato che ha il perimetro lungo 80 cm.

Dati:	Richieste:
Perimetro = 80 cm	l ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato:

$Perimetro=4\cdot l\to l=\frac{Perimetro}{4}$

Applicando la formula si ottiene:

$l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{80}{4}=20cm$

Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm²?

Dati:	Richieste:
Area = 400 cm²	l ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato:

$Area=l^2\to l=\sqrt{Area}$

Applicando la formula si ottiene:

$l=\sqrt{Area}=\sqrt{400}=20cm$

Problema 4: calcola l’area di un quadrato che ha il perimetro lungo 116 cm.

Dati:	Richieste:
Perimetro = 116 cm	Area?

Per determinare l’area del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura del perimetro, questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato, ottenendo:

$l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{116}{4}=29cm$

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del quadrato, ottenendo:

$Area=l^2=29^2=841cm^2$

Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm².

Dati:	Richieste:
Area = 729 cm²	Perimetro?

Per determinare il perimetro del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura dell’area, questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato, ottenendo:

$l=\sqrt{Area}=\sqrt{729}=27cm$

Ora è sufficiente applicare la formula diretta del perimetro del quadrato, ottenendo:

$Perimetro=4\cdot l=4\cdot27=108cm$

Questi sono solo alcuni dei problemi sul quadrato: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!

Vai agli esercizi sul quadrato!

Problemi sul rettangolo

10 Luglio 202012 Dicembre 2020 / Alessandro / 16 commenti

Devi svolgere alcuni problemi sul rettangolo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!

Problema 1: Un rettangolo ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 10 cm e 5 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo.

Dati:

Richieste:

Base (b) = 10 cm

Altezza (h) = 5 cm

Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

$Perimetro=2\cdot(b+h)$

$Area=b\cdot h$

Applicando le formule si ottiene:

$Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(10+5)=2\cdot15=30cm$

$Area=b\cdot h=10\cdot5=50cm^2$

Problema 2: Un rettangolo ha l’altezza che misura 8 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.

Dati:

Richieste:

b = 2 · h

h = 8 cm

Perimetro?

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo, è necessario calcolare la misura della base:

$b=2\cdot h=2\cdot8=16cm$

Ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

$Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(16+8)=2\cdot24=48cm$

$Area=b\cdot h=16\cdot8=128cm^2$

Problema 3: La base di un rettangolo misura 14 cm e l’altezza è i suoi 3/7. Calcola perimetro e area del rettangolo.

Dati:

Richieste:

b = 14 cm

h = $\frac{3}{7}$ b

Perimetro?

Area?

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

$h=\frac{3}{7}b=(b\cdot3):7=(14\cdot3):7=42:7=6cm$

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

$Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(14+6)=2\cdot20=40cm$

$Area=b\cdot h=14\cdot6=84cm^2$

Problema 4: La somma delle dimensioni di un rettangolo misura 44 cm e la base è 7/4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.

Dati:

Richieste:

b + h = 44 cm

b = $\frac{7}{4}$ h

Perimetro?

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 7 parti del totale e l’altezza 4 parti del totale.

La somma, 44 cm, è rappresentata da 7 parti + 4 parti, quindi 11 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

$b=44:(7+4)\cdot7=44:11\cdot7=28cm$

$h=44:(7+4)\cdot4=44:11\cdot4=16cm$

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

$Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(28+16)=2\cdot44=88cm$

$Area=b\cdot h=28\cdot16=448cm^2$

Problema 5: Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo, sapendo che l’altezza è 3/5 della base e che la loro differenza misura 10 cm.

Dati:

Richieste:

b – h = 10 cm

h = $\frac{3}{5}$ b

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (10 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 5 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 10 cm, è rappresentata da 5 parti – 3 parti, quindi 2 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

$b=10:(5-3)\cdot5=10:2\cdot5=25cm$

$h=10:(5-3)\cdot3=10:2\cdot3=15cm$

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

$Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(25+15)=2\cdot40=80cm$

$Area=b\cdot h=25\cdot15=375cm^2$

Questi sono solo alcuni dei problemi sul rettangolo: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!

Vai agli esercizi sul rettangolo!

Verifiche e test

In questa pagina potete trovare alcune verifiche di matematica e test a risposta multipla di matematica (con le relative soluzioni).

Per ogni verifica è indicato l’argomento: gli esercizi sono stati estratti a caso da quelli presenti nel sito.

Verifiche di aritmetica

Espressioni con i numeri naturali	Testo	Soluzione
Potenze in generale ed espressioni in N con le proprietà delle potenze	Testo	Soluzioni
Divisibilità, Scomposizioni in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.	Testo	Soluzioni

Verifiche di algebra

(in fase di preparazione)

Verifiche di geometria

(in fase di preparazione)

Distanza tra due punti

19 Dicembre 20182 Agosto 2019 / Alessandro

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare la distanza tra due punti.

Per calcolare la distanza tra due punti sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane di almeno due punti distinti. Unendo questi due punti si forma un segmento.

Si possono distinguere tre casi, a seconda che il segmento che si forma dall’unione dei punti sia orizzontale, verticale, obliquo.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

$A(x_{A}; y_{A})$

$B(x_{B}; y_{B})$

1° caso: segmento orizzontale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

$A(1; 1)$

$B(6; 1)$

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento orizzontale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

$AB=\left \| x_B-x_A \right \|$

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ascisse dei due punti; quindi avremo:

$AB=\left \| 6-1 \right \|=5$

2° caso: segmento verticale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

$A(2; 1)$

$B(2; 7)$

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento verticale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

$AB=\left \| y_B-y_A \right \|$

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ordinate dei due punti; quindi avremo:

$AB=\left \| 7-1 \right \|=6$

3° caso: segmento obliquo

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

$A(2; 2)$

$B(6; 5)$

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento obliquo, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

$AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}$

Questa formula non è altro che l’applicazione del Teorema di Pitagora; quindi avremo:

$AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{ (6-2)^{2}+ (5-2)^{2}}=\sqrt{ 4^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Vai alla pagina degli esercizi sulla distanza tra due punti sul piano cartesiano!

Multipli e sottomultipli di un segmento

22 Agosto 20183 Novembre 2020 / Alessandro

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura $\frac{1}{4}$ del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per $\frac{1}{2}$ ), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per $\frac{1}{4}$ ), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento	Si moltiplica per 2 AB = 3 cm Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm
Il triplo del segmento	Si moltiplica per 3 CD = 7 cm Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm
Il quadruplo del segmento	Si moltiplica per 4 EF = 10 cm Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm
Il quintuplo del segmento	Si moltiplica per 5 GH = 6 cm Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm
…	…

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema?	Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento	Si divide per 2 o si moltiplica per $\frac{1}{2}$ AB = 4 cm Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm
La terza parte del segmento	Si divide per 3 o si moltiplica per $\frac{1}{3}$ CD = 15 cm Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm
La quarta parte del segmento	Si divide per 4 o si moltiplica per $\frac{1}{4}$ EF = 24 cm Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm
La quinta parte del segmento	Si divide per 5 o si moltiplica per $\frac{1}{5}$ GH = 60 cm Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm
…	…

Se quanto hai letto non ti è chiaro, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi su multipli e sottomultipli di un segmento!

Sei un insegnante? Dai un’occhiata a Didatticaoggi: un progetto per chi vive l’avventura dell’insegnamento!

Teorema di Pitagora

1 Agosto 20182 Agosto 2019 / Alessandro

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

lato AB (cateto maggiore – indicato con c_M);
lato AC (cateto minore – indicato con c_m);
lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

5² = 3² + 4² → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n₁, n₂ e n₃) tali che:

n₁² + n₂² = n₃²

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

$i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}$ → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
$c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}$ → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
$c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}$ → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

$i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}$

Sostituendo i valori, si ottiene:

$i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm$

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

$c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}$

Sostituendo i valori, si ottiene:

$c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm$

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

$c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}$

Sostituendo i valori, si ottiene:

$c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm$

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Somma di due segmenti e loro rapporto

20 Luglio 20184 Novembre 2020 / Alessandro

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i $\frac{3}{4}$ dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

n₁ + n₂ = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
n₁ = $\frac{3}{4}$ n₂– cioè il rapporto tra i due segmenti

n₁ e n₂ rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{3}{4}$ , possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n₁ : n₂ = 3 : 4

In più, sappiamo che n₁ + n₂ = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n₁ + n₂) : n₁ = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n₁ + n₂), ottenendo:

35 : n₁ = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n₁, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n₁ = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n₂ si può ottenere per differenza, cioè:

n₂ = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n₁ e n₂ è $\frac{3}{4}$ , possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Sapendo che n₁ + n₂ = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n₁

5 · 4 = 20 = n₂

Se hai ancora qualche dubbio, ti invito a guardare la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi su somma di due segmenti e loro rapporto!

Somma e differenza di due segmenti

13 Luglio 201829 Dicembre 2022 / Alessandro

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = a – b
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

Disegniamo i due segmenti a e b:

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (a – b) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

$a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm$

$b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm$

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).

Guarda la videolezione (canale YouTube matematicaoggi)

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Esercizi di geometria

Una pagina dedicata interamente ad esercizi di geometria, divisi per argomenti e di diversi livelli di difficoltà, tutto con un click!

Esercizi sugli enti geometrici

In questa pagina puoi trovare una ricca raccolta di esercizi sugli enti geometrici, con diversi livelli di difficoltà e un collegamento diretto ad alcune videolezioni.

Problemi sui segmenti:
_Segmento somma e segmento differenza (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e differenza di segmenti (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Multipli e sottomultipli di un segmento – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e rapporto di segmenti – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Differenza e rapporto di segmenti – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Operazioni con le misure di angoli (videolezione addizione di angoli)

Problemi sugli angoli:
_Angolo somma e angolo differenza (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e differenza di angoli (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).
_Multipli e sottomultipli di angoli – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Somma e rapporto di angoli – videolezione (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Differenza e rapporto di angoli (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Se questi esercizi sugli enti geometrici ti hanno aiutato, svolgi gli altri esercizi di geometria!

Vai alle altre lezioni di geometria!

Lezioni di Matematica!

Ecco la sezione dedicata alle lezioni di matematica!

Potete trovate lezioni su vari argomenti per la scuola media e la scuola superiore:

Per alcuni argomenti è presente un file in formato pdf.

Inoltre, attraverso il canale Youtube matematicaoggi, è possibile seguire le video lezioni sugli argomenti di matematica presenti nel sito.

Infine, trovate materiali per lo studio e per lo svolgimento degli esercizi: tavole numeriche e formulari.

Il sito offre molti esercizi suddivisi per livelli di difficoltà; scegli gli esercizi di cui hai bisogno, collegandoti alla sezione dedicata!

Per qualsiasi richiesta, potete contattarmi per mail scrivendo a matematicaoggi@gmail.com.

Buono studio!

Angolo somma

Angolo differenza

Segmento somma

Segmento differenza

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 1

Esempio 2

Problema 1: Un cubo ha lo spigolo che misura 12 cm. Calcola la superficie laterale.

Problema 2: determina l’area totale di un cubo, sapendo che lo spigolo misura 8 cm.

Problema 3: quanto misura il volume di un cubo che ha lo spigolo di 15 cm?

Problema 4: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area laterale è di 100 cm2.

Problema 5: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area totale è di 294 cm2.

Problema 6: Quanto misura lo spigolo di un cubo il cui volume è di 2197 cm3?

Problema 1: Un parallelogramma ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 15 cm e 8 cm. Calcola l’area del parallelogramma.

Problema 2: Un parallelogramma ha la base e il LATO OBLIQUO che misurano, rispettivamente, 20 cm e 12 cm. Calcola IL PERIMETRO del parallelogramma.

Problema 3: Un parallelogramma ha l’altezza che misura 10 cm. Calcola l’area, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.

Problema 4: La base di un parellelogramma misura 20 cm e l’altezza è i suoi 3/4. Calcola l’area del parallelogramma.

Problema 5: in un parallelogramma la base è 3/2 dell’altezza, mentre la loro somma è 50 cm. Calcola l’area del parallelogramma.

Problema 6: Calcola il perimetro e l’area di un PARALLELOGRAMMA, sapendo che la base è 4/3 dell’altezza, che la loro differenza misura 8 cm E CHE IL LATO OBLIQUO MISURA 26 CM.

Esempio 1

Esempio 2

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Geometria: segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Geometria: segmenti

Esempio 1

Esempio 2

Multipli di un angolo

Sottomultipli di un angolo

Esempio 1

Esempio 2

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Geometria: segmenti

Problema 1: Un quadrato ha il lato che misura 10 cm. Calcola perimetro e area.

Problema 2: determina la misura del lato di un quadrato che ha il perimetro lungo 80 cm.

Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm2?

Problema 4: calcola l’area di un quadrato che ha il perimetro lungo 116 cm.

Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm2.

Problema 1: Un rettangolo ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 10 cm e 5 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo.

Problema 2: Un rettangolo ha l’altezza che misura 8 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.

Problema 3: La base di un rettangolo misura 14 cm e l’altezza è i suoi 3/7. Calcola perimetro e area del rettangolo.

Problema 4: La somma delle dimensioni di un rettangolo misura 44 cm e la base è 7/4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.

Problema 5: Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo, sapendo che l’altezza è 3/5 della base e che la loro differenza misura 10 cm.

Verifiche di aritmetica

Verifiche di algebra

Verifiche di geometria

1° caso: segmento orizzontale

2° caso: segmento verticale

3° caso: segmento obliquo

Esempio 1

Esempio 2

Multipli di un segmento

Sottomultipli di un segmento

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Proprietà del comporre delle proporzioni

Geometria: segmenti

Problema 4: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area laterale è di 100 cm².

Problema 5: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area totale è di 294 cm².

Problema 6: Quanto misura lo spigolo di un cubo il cui volume è di 2197 cm³?

Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm²?

Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm².