Espressioni con le radici

6 Luglio 20207 Luglio 2020 / Alessandro

Vuoi sapere come si svolgono le espressioni con le radici? Sei nel posto giusto!

Innanzitutto è bene precisare che le radici possono avere diversi indici: solitamente la maggior parte degli esercizi riportano le radici quadrate, quindi con indice 2.

Per eseguire le espressioni con le radici è importante ricordare le regole di svolgimento delle espressioni in generale.

Inoltre, ricordiamo che la radice è l’operazione opposta della potenza, ad esempio:

$4^2=16 \rightarrow\sqrt{16}=4$

$3^3=27 \rightarrow\sqrt[3]{27}=3$

e così via.

Considerando queste precisazioni, vediamo con qualche esempio lo svolgimento delle espressioni con le radici.

Esempio 1

$\sqrt{4+(7\cdot3)}+\left [ 13-(15\cdot3):5 \right ]=$

In questa espressione è presenta una radice quadrata (attenzione: la radice è applicata solamente ad una parte dei calcoli).

Nel primo passaggio è necessario svolgere le operazioni all’interno delle parentesi tonde, ottenendo così:

$\sqrt{4+21}+\left [ 13-45:5 \right ]=$

In seguito si svolge l’addizione all’interno della radice e la divisione all’interno della parentesi quadra:

$\sqrt{25}+\left [ 13-9 \right ]=$

Ora non resta che svolgere, nello stesso passaggio, sia la radice quadrata che la sottrazione all’interno delle parentesi quadre; in questo modo si ottiene:

$5+4=9$

Esempio 2

$\sqrt{[12+45:(3\cdot5)]\cdot(28-12):4+21}=$

L’espressione di questo esempio vede una radice quadrata al di sotto della quale è presente una serie di calcoli che vanno svolti secondo un ordine ben preciso; innanzitutto è necessario svolgere i calcoli all’interno delle due parentesi tonde, ottenendo:

$\sqrt{[12+45:15]\cdot16:4+21}=$

Ora si precede svolgendo i calcoli all’interno delle parentesi quadre, iniziando con la divisione:

$\sqrt{[12+3]\cdot16:4+21}=$

Nel prossimo passaggio possiamo togliere le parentesi quadre svolgendo l’addizione:

$\sqrt{15\cdot16:4+21}=$

Non sono presenti parentesi; di conseguenza si svolgono le operazioni restanti, procedendo con ordine (prima la moltiplicazione, poi la divisione, infine la somma):

$\sqrt{240:4+21}=$

$\sqrt{60+21}=$

$\sqrt{81}=9$

Non è ancora presente una videolezione sulle espressioni con le radici. Se lo desideri, puoi vedere questo video sulle espressioni con le frazioni e le radici quadrate.

Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

15 Febbraio 2020 / Alessandro

Come si svolgono le espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze? Niente di più semplice!

Per risolvere correttamente questo tipo di espressioni è necessario ricordare alcune regole importanti:

come si svolgono le operazioni con le frazioni;
come si svolge una espressione con le frazioni in generale;
come si applicano le proprietà delle potenze in generale e le frazioni con le proprietà delle potenze.

Per capire bene come svolgere queste espressioni, ci facciamo aiutare da un esempio.

$\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (1-\frac{1}{2} \right )^4=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre: si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle tonde (addizione all’interno della prima parentesi e sottrazione all’interno dell’ultima parentesi):

$\left ( \frac{3+2}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{2-1}{2} \right )^4=$

Ora eseguiamo i calcoli, ottenendo quanto segue:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Osservando l’espressione possiamo notare una proprietà delle potenze che possiamo applicare facilmente: si tratta della potenza di potenza, applicabile nella parentesi quadra. Infatti è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti presenti (il 3 e il 2), ottenendo così:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+ \left (\frac{1}{2} \right )^6:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Ora è necessario svolgere le due divisioni presenti: in entrambi i casi si tratta di una divisione tra due potenze che hanno la stessa base, quindi è sufficiente sottrarre tra loro gli esponenti, mantenendo la stessa base. In questo modo avremo:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^1+ \left (\frac{1}{2} \right )^2=$

Applichiamo gli esponenti presenti alle frazioni all’interno delle parentesi:

$\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=$

Svolgiamo l’ultima operazione e troviamo il risultato di questa espressione:

$\frac{10+3}{12}=\frac{13}{12}$

Una videolezione con un altro esempio può essere di aiuto se hai ancora qualche dubbio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze!

Ecco altre videolezioni di matematica che possono esserti utili:

Espressioni con le frazioni

29 Ottobre 201823 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere delle espressioni con le frazioni? Sei nel posto giusto!

In questa lezione vedremo come risolvere una espressione con le frazioni, facendo attenzione alle regole di svolgimento che sono necessarie; faremo riferimento alle regole suggerire da altre lezioni presenti nel nostro sito, in particolare:

espressioni con i numeri naturali (per ciò che riguarda l’ordine di svolgimento delle operazioni);
operazioni con le frazioni (per ciò che riguarda lo svolgimento delle quattro operazioni con le frazioni).

Altri contenuti teorici utili verranno suggeriti in seguito svolgendo gli esercizi proposti negli esempi.

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

$\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}:\frac{3}{2}=$

L’espressione dell’esempio proposto non ha parentesi; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte (può essere utile leggere come si svolgono moltiplicazioni di frazioni e divisioni di frazioni):

Si svolgerà la moltiplicazione $\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}$ , moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori delle due frazioni, ottenendo $\frac{16}{15}$ ;
Si svolgerà la divisione $\frac{2}{5} : \frac{3}{2}$ , che verrà trasformata in una moltiplicazione, cioè $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=$

Il passaggio successivo prevede di svolgere la moltiplicazione rimasta, cioè $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$ , ottenendo così:

$\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=$

A questo punto si procede svolgendo addizioni e sottrazioni (può essere utile leggere come si svolgono addizioni di frazioni e sottrazioni di frazioni): essendo frazioni, si deve determinare il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il minimo comune denominatore tra 5 e 15. Essendo 15 multiplo di 5, il denominatore comune è 15, quindi avremo:

$\frac{(15:15) \cdot 16-(15:5) \cdot 1+(15:15) \cdot 4}{15}=$

Svolgendo i passaggi al numeratore, si ottiene:

$\frac{16-3+4}{15}= \frac{17}{15}$

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

$\left [ \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

L’espressione dell’esempio proposto ha parentesi tonde e quadre; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde e, in seguito, quelle all’interno delle quadre.

All’interno delle parentesi tonde è presente un’addizione $\left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right )$ , che si svolge come nel passaggio esposto nell’esempio 1; quindi si avrà:

$\left [ \left ( \frac{6+5}{10} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

Svolgiamo il calcolo all’interno delle parentesi tonde, ottenendo:

$\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

Tolte le parentesi tonde, ora è necessario togliere le parentesi quadre, svolgendo la moltiplicazione presente $\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]$ ; è possibile semplificare, 11 con 11 e 10 con 5, ottenendo come risultato:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}=$

Ora è sufficiente svolgere l’ultima operazione, una sottrazione, ottenendo:

$\frac{3-2}{6}= \frac{1}{6}$

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

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Espressioni con i prodotti notevoli

31 Luglio 201821 Gennaio 2023 / Alessandro

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

prodotti notevoli;
operazioni con i monomi;
somma algebrica di polinomi;
prodotto di polinomi;
quoziente di un polinomio per un monomio.

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

$(a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=$

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un quadrato di un binomio → $(a+2)^{2}$
una somma per differenza → $(a+1)(a-1)$

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

$(a+2)^{2}= a^{2}+4a+4$
$(a+1)(a-1)= a^{2}-1$

si ottiene:

$a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $a^{2}$ e $+a^{2}$ ; $+4a$ e $-4a$ ; $+4$ e $-1$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$2a^{2}+3$

Esempio 2

$(x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un cubo di un binomio → $(x+1)^{3}$
un prodotto di un monomio per un binomio → $x (x+y)$
un quadrato di un trinomio → $(x+y+2)^{2}$

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

$(x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1$
$x(x+y)= x^{2}+xy$
$(x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y$

si ottiene

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=$

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro ( $x^{2}$ e $+x^{2}$ ; $+xy$ e $+2xy$ ; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=$

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $+3x^{2}$ e $-2x^{2}$ ; $+3x$ e $-4x$ ; $+1$ e $-4$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3$

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Guarda la videolezione nel canale YouTube matematicaoggi!

Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

23 Febbraio 201829 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate e svolgere correttamente le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze.

Esempio 1

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)³ − (+ 2)⁵] : (− 2)⁴ + (− 5)² =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)³ : (− 8)² =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)¹ =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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Espressioni con i numeri interi relativi

21 Febbraio 20183 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere delle espressioni con i numeri interi relativi? Ecco come puoi fare!

Per prima cosa è bene ricordare che per trovare il valore di una espressione con i numeri interi relativi si devono conoscere le regole di svolgimento di una espressione in generale. In particolare:

se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Nel caso di numeri interi relativi, si parla di somma algebrica.

Non dobbiamo dimenticare, infine, le regole di svolgimento delle operazioni con i numeri interi relativi.

Vediamo nel concreto come applicare queste regole.

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Si ottiene così:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

All’interno della parentesi quadra è presente una parentesi tonda con un solo numero: in questo caso – per togliere la parentesi tonda – è sufficiente eseguire il prodotto dei segni:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

Moltiplicheremo, cioè, il meno che sta al di fuori della tonda con il più del numero all’interno della tonda (evidenziato in blu), ottenendo:

[− 2 − 4] · (− 4) =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

[− 6] · (− 4) =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

[− 6] · (− 4) = + 24

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Si ottiene così:

(+ 47) : [− 32 − 15] =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

(+ 47) : [− 47] =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la divisione:

(+ 47) : [− 47] = − 1

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Espressioni con i numeri naturali

10 Settembre 201530 Settembre 2020 / Alessandro

Espressioni con i numeri naturali: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Per svolgere un’espressione aritmetica, si segue un ordine preciso:

se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.

Esempio 1 – Espressione senza parentesi

25 : 5 + 12 · 2 – 20 : 4 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di moltiplicazione e di divisione:

= 5 + 24 – 5 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di addizione e sottrazione (in ordine):

= 29 – 5 + 5 – 6 =
La prima sottrazione, ottenendo:

= 24 + 5 – 6 =
L’addizione, ottenendo:

= 29 – 6 = 23

Esempio 2 – Espressione con le parentesi

{9 · 9 – [8 + (1 + 4)]} : {[37 – (51 – 16)] · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi tonde:

= {9 · 9 – [8 + 5]} : {[37 – 35] · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi quadre:

= {9 · 9 – 13} : {2 · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi graffe:

= {81 – 13} : 4 =
Eseguo l’operazione all’interno della parentesi graffa rimasta:

= 68 : 4 = 17

Se gli esempi non ti hanno chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Scarica il pdf della lezione sulle espressioni con i numeri naturali!

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Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)2 · (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Esempio 1 – Espressione senza parentesi

Esempio 2 – Espressione con le parentesi

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =