Equazioni di secondo grado complete

25 Ottobre 2020 / Alessandro

Se stai leggendo questo articolo allora sei nel posto giusto: ecco una lezione chiara ed esaustiva sulle equazioni di secondo grado complete!

Una equazione è di secondo grado quando l’incognita (solitamente x) compare con esponente 2 (alla seconda o al quadrato).

La forma generica dell’equazione di secondo grado è la seguente:

$ax^{2}+bx+c=0$

In base a questa forma generica, a seconda che vi siano o meno alcuni dei suoi termini, si possono avere anche le equazioni di secondo grado pure e le equazioni di secondo grado spurie.

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado complete.

Per svolgere una equazione di secondo grado completa è necessario ricordare una formula risolutiva, che permette di ottenere le soluzioni dell’equazione stessa; la formula risolutiva è la seguente:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In particolari condizioni, cioè quando b è pari, è possibile utilizzare la formula risolutiva ridotta (in breve, formula ridotta):

$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}$

Vediamo con qualche esempio come si applicano le formule sopra riportate.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $x^2+4x-5=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=1$

$b=4$

$c=-5$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$x_{2}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$

In questo esempio è possibile applicare la formula ridotta, in alternativa a quella generica, poiché b è pari. Le soluzioni date dalla formula ridotta devono essere le stesse; verifichiamo:

$x_{1,2}=\frac{-\frac{4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{4}{2})^{2}-1\cdot(-5)}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 2^{2}+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 4+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 9}}{1}=\frac{-2\pm3}{1}=$

Analogamente a quanto riportato sopra, le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-2-3}{1}=\frac{-5}{1}=-5$

$x_{2}=\frac{-2+3}{1}=\frac{1}{1}=1$

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $-x^2+3x+4=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva (precisiamo che non è possibile applicare la formula ridotta, poiché b non è pari):

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=-1$

$b=3$

$c=4$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}=\frac{-3\pm5}{-2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-3-5}{-2}=\frac{-8}{-2}=+4$

$x_{2}=\frac{-3+5}{-2}=\frac{+2}{-2}=-1$

Se la spiegazione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina con gli esercizi sulle equazioni di secondo grado complete!

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Equazioni di secondo grado spurie

15 Settembre 20194 Novembre 2019 / Alessandro

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+bx=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{b}{a}$

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

$4x^{2}-12x=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+4$

$b=-12$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3$

Esempio 2

$-2x^{2}+9x=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=-2$

$b=+9$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}$

Esempio 3

$-5x^{2}-10x=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-5$

$b=-10$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{b^2}=b$ (vero solo se $b>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}$

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

$x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0$

$x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

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Equazioni di secondo grado pure

7 Settembre 2019 / Alessandro

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+c=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

$x^{2}-4=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+1$

$c=-4$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2$

Esempio 2

$16x^{2}-1=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=+16$

$c=-1$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}$

Esempio 3

$-25x^{2}+9=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-25$

$c=+9$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione $ax^{2}+bx+c=0$ in modo che $a>0$ . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}$

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}$

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}$

Moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{a}$ (si può fare solo se $a>0$ ) si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{a^2}=a$ (vero solo se $a>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}$

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto $\frac{-c}{a}$ ; a questo punto si ottiene la formula finale:

$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}$

Essa corrisponde alle due formule:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$

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Esempio 1

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