Scomposizione con quadrato di un trinomio

16 Luglio 2020 / Alessandro

Scomposizione con quadrato di un trinomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

In questo caso non è difficile individuare il risultato del quadrato di un trinomio, poiché è composto da 6 termini (6 monomi).

Il caso generale è il seguente:

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

In sostanza, per identificare lo sviluppo del quadrato di un trinomio sono necessarie le seguenti condizioni:

Sei monomi
Tre di questi monomi devono essere quadrati
I tre monomi restanti devono corrispondere ai doppi prodotti dei monomi di base

Vediamo ora alcuni esempi della scomposizione con quadrato di un trinomio.

Esempio 1

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: il consiglio è di iniziare ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$x^4$ è il quadrato di $x^2$
$4y^2$ è il quadrato di $2y$
$9z^2$ è il quadrato di $3z$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $x^2$ , $2y$ , $3z$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$4x^2y$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $2y$
$12yz$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2y$ e $3z$
$6x^2z$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $3z$

Osservando, infine, il polinomio iniziale possiamo notare che tutti i monomi hanno segno positivo; di conseguenza, la scomposizione corrisponde alla seguente forma:

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z=(x^2+2y+3z)^2$

Esempio 2

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: come per il primo esempio, iniziamo ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$4a^2$ è il quadrato di $2a$
$9b^2$ è il quadrato di $3b$
$16c^4$ è il quadrato di $4c^2$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $2a$ , $3b$ , $4c^2$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$12ab$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $3b$
$24bc^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $3b$ e $4c^2$
$16ac^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $4c^2$

Se osserviamo il polinomio iniziale notiamo che due termini (doppi prodotti) hanno segno negativo: a differenza del polinomio del primo esempio non è possibile assegnare segno più a tutti i monomi, quindi è necessario un ragionamento sui segni, partendo dalla seguente situazione:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(...2a...3b...4c^2)^2$

Secondo la regola dei segni, il risultato negativo di una moltiplicazione di due termini è dovuto al fatto che uno dei due termini è negativo. Si può iniziare assegnando il segno positivo al primo monomio:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a...3b...4c^2)^2$

Per assegnare il segno del secondo monomio osserviamo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: c’è meno, quindi il secondo monomio dentro parentesi avrà segno meno.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b...4c^2)^2$

Per il segno del terzo monomio osserviamo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: essendo positivi, il terzo monomio dentro parentesi avrà segno più.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b+4c^2)^2$

Ultimo controllo: è necessario verificare che il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo sia corretto. In effetti lo è, perché il segno finale è meno: di conseguenza quello indicato nell’ultimo passaggio è il risultato finale.

Questa non è l’unica scomposizione: qui puoi trovare tutte le scomposizioni un polinomio in fattori!

Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Grado rispetto alle lettere di un polinomio

7 Novembre 20182 Agosto 2019 / Alessandro

Cos’è il grado rispetto alle lettere di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda è necessario sapere cos’è il grado rispetto alla lettera di un monomio.

In sostanza, il grado rispetto alle lettere di un polinomio è l’esponente più alto con cui una certa lettera compare nei termini del polinomio (cioè nei monomi che compongono il polinomio).

In aggiunta, possiamo definire polinomio completo (rispetto ad una lettera) quel polinomio nel quale una lettera è presente dal grado più alto fino al grado 0.

Infine, un polinomio è ordinato quando i monomi sono scritti in modo tale che, rispetto ad una determinata lettera, gli esponenti sono in ordine crescente o decrescente.

Vediamo ora, con qualche esempio, di capire come si determina il grado rispetto alla lettera di un polinomio.

Esempio 1

$-3x^3y^2+6x^4-8y^3$

Per stabilire il grado rispetto alle lettere di questo polinomio (si tratta, in particolare, di un trinomio), è necessario definire il grado più alto di ogni lettera.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale indichiamo i gradi rispetto alle lettere di ogni monomio che compone il polinomio.

Monomio	Grado rispetto alla lettera x	Grado rispetto alla lettera y
$-3x^3y^2$	3	2
$+6x^4$	4	0
$-8y^3$	0	3

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera x è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alle lettera x; il grado più alto della lettera y è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera y.

Possiamo affermare che il polinomio non è completo, né rispetto alla lettera x (mancano, infatti, il grado 1 e il grado 2), né rispetto alla lettera y (manca, infatti, il grado 1).

Infine possiamo anche affermare che il polinomio non è ordinato, né rispetto alla lettera x, né rispetto alla lettera y, in quanto non c’è un ordine preciso dei gradi.

Esempio 2

$9a^3b+\frac{1}{3}a^2b^4-5ab^2-8b$

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per definire i gradi rispetto ad ogni lettera di ogni monomio.

Monomio	Grado rispetto alla lettera a	Grado rispetto alla lettera b
$9a^3b$	3	1
$+\frac{1}{3}a^2b^4$	2	4
$-5ab^2$	1	2
$-8b$	0	1

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera a è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alle lettera a; il grado più alto della lettera b è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alla lettera b.

Possiamo affermare che il polinomio è completo rispetto alla lettera a: sono presenti, infatti, tutti i gradi partendo da quello massimo (in questo caso 3) fino al grado 0; il polinomio non è completo rispetto rispetto alla lettera b (mancano, infatti, il grado 0 e il grado 3).

Infine possiamo affermare che il polinomio è ordinato rispetto alla lettera a (i monomi, infatti, sono scritti in modo tale che gli esponenti della lettera a sono in ordine decrescente); il polinomio non è ordinato rispetto alla lettera b (non c’è un ordine preciso dei gradi).

Grado di un polinomio

3 Novembre 201821 Agosto 2019 / Alessandro

Come si determina il grado di un polinomio?

Non è difficile rispondere a questa domanda: l’importante è sapere cos’è e come si determina il grado di un monomio!

In sostanza, il grado di un polinomio corrisponde al grado più alto dei suoi termini, cioè dei monomi che lo compongono.

In aggiunta, definiamo polinomio omogeneo quel polinomio che ha tutti i termini con lo stesso grado.

Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

$a^4b^2+2a^3-5b^2$

Per stabilire il grado di questo trinomio (perché è formato da tre monomi), è necessario definire il grado di ognuno dei termini del polinomio stesso, cioè il grado di ogni monomio che compone il trinomio.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale inseriamo i singoli monomi e il loro grado, ricordando che il grado di un monomio corrisponde alla somma degli esponenti della parte letterale.

Monomio	Grado del monomio
$a^4b^2$	6 (4 esponente della lettera a + 2 esponente della lettera b)
$+2a^3$	3 (che corrisponde all’esponente della lettera a)
$-5b^2$	2 (che corrisponde all’esponente della lettera b)

Ora che abbiamo definito i gradi dei singoli monomi, è sufficiente osservare qual è il grado più alto: in questo caso è 6, quindi si può affermare che il trinomio $a^4b^2+2a^3-5b^2$ è di sesto grado.

Inoltre, non è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini non sono uguali.

Esempio 2

$-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5$

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per analizzare i singoli termini del polinomio:

Monomio	Grado del monomio
$-\frac{1}{2}x^5$	5 (che corrisponde all’esponente della lettera x)
$+6x^2y^3$	5 (2 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y)
$-\frac{3}{4}xy^3z$	5 (1 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y + 1 esponente della lettera z)
$-6y^5$	5 (che corrisponde all’esponente della lettera y)

Osservando i gradi dei monomi che compongono il polinomio si può notare che sono tutti di grado 5, quindi il polinomio $-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5$ è di quinto grado; inoltre, è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini sono tutti uguali.

Espressioni con i prodotti notevoli

31 Luglio 201821 Gennaio 2023 / Alessandro

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

prodotti notevoli;
operazioni con i monomi;
somma algebrica di polinomi;
prodotto di polinomi;
quoziente di un polinomio per un monomio.

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

$(a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=$

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un quadrato di un binomio → $(a+2)^{2}$
una somma per differenza → $(a+1)(a-1)$

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

$(a+2)^{2}= a^{2}+4a+4$
$(a+1)(a-1)= a^{2}-1$

si ottiene:

$a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $a^{2}$ e $+a^{2}$ ; $+4a$ e $-4a$ ; $+4$ e $-1$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$2a^{2}+3$

Esempio 2

$(x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un cubo di un binomio → $(x+1)^{3}$
un prodotto di un monomio per un binomio → $x (x+y)$
un quadrato di un trinomio → $(x+y+2)^{2}$

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

$(x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1$
$x(x+y)= x^{2}+xy$
$(x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y$

si ottiene

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=$

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro ( $x^{2}$ e $+x^{2}$ ; $+xy$ e $+2xy$ ; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=$

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $+3x^{2}$ e $-2x^{2}$ ; $+3x$ e $-4x$ ; $+1$ e $-4$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3$

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con i prodotti notevoli!

Guarda la videolezione nel canale YouTube matematicaoggi!

Quoziente di un polinomio per un monomio

26 Luglio 201823 Ottobre 2022 / Alessandro

Il calcolo letterale è caratterizzato dalla presenza di una serie di operazioni, tra le quali troviamo il quoziente di un polinomio per un monomio. Le altre operazioni da non dimenticare sono la somma algebrica di polinomi, il prodotto di polinomi e i prodotti notevoli.

Per trovare il quoziente di un polinomio per un monomio è utile rivedere la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base):

$a^{n}:a^{m}=a^{n-m}$

Inoltre, per svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, è necessario ricordare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma: il quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio.

Vediamo con qualche esempio come si ottiene il quoziente di un polinomio per un monomio.

Esempio 1

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=$

In questo esempio troviamo un trinomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$x^{6}:x^{2}=x^{4}$
$x^{4}:x^{2}=x^{2}$
$(-3x^{3}y):x^{2}=-3xy$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno delle parentesi: la divisione si svolge dividendo sia i coefficienti (facendo attenzione al quoziente dei segni) che le parti letterali (applicando la seconda proprietà delle potenze, che prevede la sottrazione tra gli esponenti delle lettere uguali).

Solitamente i passaggi sopra descritti si svolgono direttamente; il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=x^{4}+x^{2}-3xy$

Esempio 2

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=$

In questo esempio troviamo un binomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$(-15a^{5}b^{3}):(-5a^{4}b^{3})=+3a$
$(-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno della parentesi: in questo caso si deve prestare particolare attenzione alle divisioni tra le parti letterali, poiché gli esponenti delle lettere del secondo monomio all’interno delle parentesi sono inferiori di quelli del monomio per cui si divide, quindi il risultato è un esponente negativo.

Il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+3a+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$

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Prodotto di polinomi

3 Luglio 201812 Ottobre 2022 / Alessandro

Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: il prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.

Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.

Esempio 1

$(a^{2}+2b)\cdot (a+3b)=$

In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):

$a^{2}\cdot a= a^{3}$
$a^{2}\cdot 3b= 3a^{2}b$
$2b\cdot a= 2ab$
$2b\cdot 3b= 6 b^{2}$

Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:

$(a^{2}+2b)\cdot(a+3b)= a^{3}+3 a^{2}b+2ab+6 b^{2}$

Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

$(x+2y-2)\cdot(x-y)=$

In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:

$x\cdot x= x^{2}$
$x\cdot (-y)= -xy$
$2y\cdot x= 2xy$
$2y\cdot(-y)=-2 y^{2}$
$(-2)\cdot x=-2x$
$(-2)\cdot (-y)=2y$

Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:

$(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y$

Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro ( $-xy$ e $2xy$ ). Sommandoli algebricamente si ottiene:

$(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y=x^{2}+xy-2 y^{2}-2x+2y$

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi del prodotto di polinomi!

Somma algebrica di polinomi

30 Giugno 201810 Ottobre 2022 / Alessandro

La somma algebrica di polinomi è una operazione molto frequente nel calcolo letterale. Insieme ad essa, importanti sono anche il prodotto di polinomi, i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per eseguire la somma algebrica di polinomi può essere di grande aiuto ricordare come si svolge la somma algebrica di monomi.

Vediamo con qualche esempio come si svolge la somma algebrica di polinomi.

Esempio 1

$(2a^{2}+3b-2x)+ (a^{2}-2b)=$

Il primo passaggio per svolgere questo esercizio è togliere le parentesi, osservando se – all’interno di esse – sono presenti monomi simili tra loro. In questo caso non sono presenti monomi simili, quindi si può procedere togliendo le parentesi.

Per togliere le parentesi è necessario prestare attenzione al segno presente davanti ad esse: in questo caso il segno è positivo davanti ad entrambe le parentesi (nella prima non è indicato, ma è sottinteso). Di conseguenza, si può riscrivere tutto togliendo le parentesi e lasciando gli stessi segni dei termini all’interno, ottenendo così:

$+2a^{2}+3b-2x+a^{2}-2b=$

Ora non resta che applicare la regola di svolgimento della somma algebrica di monomi, che prevede la riduzione dei termini simili (cioè sommare algebricamente tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale). In questo modo si avrà:

$(+2a^{2}+a^{2})+(+3b-2b)-2x=$

Per concludere, la somma algebrica all’interno delle parentesi porta al seguente risultato:

$+3a^{2}+b-2x$

Esempio 2

$(-4x^{2}+3y)-(5x^{2}-3y-2+5z)+(6x^{2}-6+5z)=$

All’interno delle parentesi non sono presenti monomi simili tra loro. Si procede, quindi, togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti alla seconda parentesi: in questo caso, infatti, i segni dei monomi all’interno della parentesi andranno cambiati, mentre gli altri verranno riscritti con lo stesso segno.

$-4x^{2}+3y-5x^{2}+3y+2-5z+6x^{2}-6+5z=$

Ora si procede sommando algebricamente tra loro i monomi simili:

$(-4x^{2}-5x^{2}+6x^{2})+(+3y+3y)+(+2-6)+(-5z+5z)=$

Le somme algebriche all’interno delle parentesi portano al seguente risultato:

$-3x^{2}+6y-4$

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Esercizi di algebra

Una pagina dedicata interamente ad esercizi di algebra, divisi per argomenti e di diversi livelli di difficoltà, tutto con un click!

Esercizi sul calcolo letterale

In questa pagina puoi trovare una ricca raccolta di esercizi sul calcolo letterale.

Espressioni letterali

_Gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Esercizi sui monomi

In generale:
_Coefficiente e parte letterale (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Grado di un monomio (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Tipi di monomi (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Operazioni con i monomi:
_somma algebrica di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_prodotto di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_quoziente di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_potenza di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_M.C.D. e m.c.m. di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato).

Esercizi sui polinomi

Operazioni:
_somma algebrica di polinomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_prodotto di polinomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_quoziente di un polinomio per un monomio (livello base – livello intermedio – livello avanzato).

Prodotti notevoli:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.

Espressioni con i prodotti notevoli:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.