Frazione di un numero e viceversa

9 Ottobre 2022 / Alessandro

In questo articolo vedremo come si calcola la frazione di un numero e viceversa.

Cosa significa determinare la frazione di un numero? Significa determinare un valore che corrisponde ad una parte (frazione) di una certa quantità (numero iniziale).

Solitamente le richieste sono simili a questo esempio: Andrea ha ricevuto un premio al gratta e vinci del valore di €100,00 e decide di spenderne i $\frac{3}{4}$ per un paio di scarpe. Quanto spenderà Andrea?

Per svolgere questo problema si segue un procedimento molto semplice:

si divide l’intero (cioè i 100 euro) per 4 parti (il denominatore della frazione), ottenendo una parte di 4 (€25,00);
in seguito, si moltiplica il risultato per 3 parti (il numeratore della frazione) cioè le 3 parti di 4.

Il risultato finale corrisponde alla parte di premio che Andrea decide di utilizzare per l’acquisto delle scarpe.

Ecco il calcolo nel dettaglio:

$(100:4)\cdot3=25\cdot3=75$

Altri esempi nella tabella che segue.

Intero iniziale	Frazione dell’intero	Calcolo e valore finale
150	$\frac{2}{5}$	$(150:5)\cdot2=30\cdot2=60$
42	$\frac{6}{7}$	$(42:7)\cdot6=6\cdot6=36$
1.245	$\frac{4}{5}$	$(1.245:5)\cdot4=249\cdot4=996$

Un altro caso è il seguente: determinare un intero, conoscendo la frazione e il valore corrispondente a questa, quindi passare dalla frazione all’intero.

In altre parole, consideriamo questo esempio: Nel negozio Musicaoggi sono esposte 6 chitarre, che corrispondono ai $\frac{3}{8}$ del totale di quelle a disposizione del proprietario. Quante sono le chitarre in totale?

In questo problema 6 chitarre è una parte del totale (intero), cioè $\frac{3}{8}$ , quindi è necessario un ragionamento inverso rispetto a quello visto all’inizio dell’articolo.

Per svolgere questo problema si segue un procedimento molto semplice:

si divide la parte (cioè le 6 chitarre) per 3 parti (il numeratore della frazione), ottenendo una parte di 8 (2);
in seguito, si moltiplica il risultato per 8 parti (il denominatore della frazione), determinando così l’intero.

Il risultato finale corrisponde al numero totale delle chitarre a disposizione nel negozio.

Ecco il calcolo nel dettaglio:

$(6:3)\cdot8=2\cdot8=16$

Altri esempi nella tabella che segue.

Parte dell’intero	Frazione corrispondente	Calcolo e valore dell’intero
45	$\frac{5}{7}$	$(45:5)\cdot7=9\cdot7=63$
70	$\frac{14}{23}$	$(70:14)\cdot23=5\cdot23=115$
2.348	$\frac{4}{15}$	$(2.348:4)\cdot15=587\cdot15=8.805$

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Problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado

12 Aprile 2021 / Alessandro / Lascia un commento

I problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado sono problemi matematici che richiedono di determinarne la soluzione utilizzando le equazioni di primo grado.

Difficile? No, l’importante è leggere bene il problema e “tradurlo” correttamente con simboli matematici e numeri, ottenendo così l’equazione che permetterà di trovare la soluzione.

Cerchiamo di capire con qualche esempio come svolgere questo tipo di problemi.

Esempio 1

Calcola un numero sapendo che il suo triplo è 24.

Solitamente nelle equazioni di primo grado l’incognita è rappresentata da $x$ : il numero da trovare, quindi, rappresenta l’incognita, perché non ne conosciamo il valore.

La parte del problema che va tradotta in simboli è questa: il suo triplo è 24. Qui si fa riferimento al numero incognito, cioè il triplo del numero è uguale a 24. Quindi, se il numero da trovare è $x$ e il suo triplo ( $3x$ ) è uguale a 24, possiamo tradurre il problema in questo modo:

$3x=24$

Applicando le regole di svolgimento delle equazioni di primo grado è facile determinare il valore di $x$ , dividendo entrambi i membri per 3, ottenendo:

$\frac{3x}{3}=\frac{24}{3}\rightarrow x=8$

Esempio 2

La terza parte di un numero, aumentata di 5, dà come risultato 12. Qual è questo numero?

Anche in questo problema l’obiettivo è di determinare il valore di un numero, che chiameremo $x$ . Analizziamo ora il testo del problema.

La terza parte di un numero significa, in termini di frazione, $\frac{1}{3}$ del numero, cioè $\frac{1}{3}x$ .
Aumentata di 5 significa che va aggiunto 5 alla parte precedente, cioè $\frac{1}{3}x+5$ .
Dà come risultato 12, significa che l’operazione sopra ottenuta è uguale a 12, cioè $\frac{1}{3}x+5=12$ .

In questo modo il problema è stato tradotto in una equazione: ora non resta che risolverla, applicando i dovuti passaggi.

$\frac{1}{3}x+5=12 \rightarrow\frac{1}{3}x=12-5 \rightarrow\frac{1}{3}x=7 \rightarrow3\cdot\frac{1}{3}x=7\cdot3 \rightarrow x=21$

Esempio 3

La somma di due numeri pari consecutivi è 22. Determinare il valore dei due numeri.

In questo problema viene chiesto di determinare il valore di due numeri, a differenza dei problemi precedenti. Ma non c’è da preoccuparsi: si parte sempre dall’incognita $x$ (che corrisponde al primo dei due numeri); essendo due numeri pari consecutivi, è sufficiente considerare che al numero $x$ si può aggiungere 2 per ottenere il numero pari successivo, quindi l’altro numero lo possiamo esprimere come $x+2$ .

Detto questo, traduciamo il problema in questo modo:

$x+x+2=22$

perché il primo numero ( $x$ ), sommato al numero pari successivo ( $x+2$ ) dà come somma 22. L’equazione di primo grado che otteniamo è semplice da risolvere:

$x+x+2=22\rightarrow2x+2=22\rightarrow2x=22-2\rightarrow2x=20\rightarrow \frac{2x}{2}=\frac{20}{2}\rightarrow x=10$

Ora che abbiamo determinato il primo numero pari (10), il secondo è – di conseguenza – il successivo, cioè 12.

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Sistemi di equazioni di primo grado a due incognite – Metodo di sostituzione

1 Aprile 2021 / Alessandro

In questo articolo vediamo come svolgere i sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.

In generale, per trovare le soluzioni di un sistema di equazioni di primo grado a due incognite è possibile seguire diversi metodi:

Sostituzione
Confronto
Sottrazione (o riduzione o eliminazione)
Cramer

Vediamo con un esempio come si applica il metodo di sostituzione. Precisiamo che, formalmente, a sinistra delle due equazioni dovrebbe esserci una parentesi graffa che le unisce, ma qui non l’abbiamo inserita per semplicità.

In caso di necessità, ripassa prima le equazioni di primo grado.

Esempio

$x+2y=3$

$2x+3y=5$

Il metodo di sostituzione prevede, prima di tutto, di ricavare una delle due incognite in una delle due equazioni (si consiglia sempre di partire da quella più facile), per poi andare a sostituirla all’interno dell’altra equazione.

Nel sistema dell’esempio conviene partire ricavando la $x$ nella prima equazione (poiché ha coefficiente pari a 1): per ricavare la $x$ nella prima equazione è sufficiente spostare al secondo membro il termine $+2y$ , ottenendo:

$x=3-2y$

$2x+3y=5$

Ora andremo a sostituire la $x$ della prima equazione (che corrisponde a $3-2y$ ) al posto della $x$ della seconda equazione, ottenendo così:

$x=3-2y$

$2(3-2y)+3y=5$

La nostra attenzione ora si sposta sulla seconda equazione: si può vedere, infatti, che l’equazione presenta la sola incognita $y$ , quindi è possibile trovare – attraverso alcuni semplici passaggi – la soluzione, quindi il valore di $y$ . Procediamo, quindi, a determinare la soluzione della seconda equazione:

$x=3-2y$

$6-4y+3y=5$

Dopo aver svolto la parentesi tonda, spostiamo a destra dell’uguale il numero 6, cambiandolo di segno, e svolgiamo i calcoli previsti:

$x=3-2y$

$-4y+3y=5-6$

Svolgiamo le somme algebriche:

$x=3-2y$

$-y=-1$

Per fare in modo che $y$ abbia coefficiente positivo è sufficiente moltiplicare per $-1$ entrambi i membri della seconda equazione:

$x=3-2y$

$y=1$

Ora che abbiamo determinato il valore di $y$ , è possibile determinare anche il valore di $x$ sostituendo il valore 1 nella prima equazione:

$x=3-2\cdot1$

$y=1$

$x=1$

$y=1$

Il sistema è risolto! Ma…è corretto? Per verificare la correttezza dei risultati è sufficiente sostituire i valori ottenuti alle incognite delle equazioni iniziali:

$x+2y=3$

$2x+3y=5$

$1+2\cdot1=3$

$2\cdot1+3\cdot1=5$

$3=3$

$5=5$

Verifica completata: come si può notare abbiamo ottenuto due uguaglianze, quindi possiamo affermare che i valori di $x$ e di $y$ sono corretti.

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi sui sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.

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Prodotto di radicali con indice diverso

1 Gennaio 2021 / Alessandro

Il prodotto di radicali con indice diverso è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

A differenza del prodotto di radicali con lo stesso indice, che si risolve in modo abbastanza semplice, qui è necessario svolgere un passaggio preliminare per ottenere il risultato finale.

Questo passaggio è la riduzione di radicali allo stesso indice, cioè l’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Applicata questa trasformazione, si svolge il prodotto e il gioco è fatto!

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi per capire come svolgere il prodotto di radicali con indice diverso.

Esempio 1

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =$

In questo primo esempio abbiamo un prodotto di due radicali con indici diversi (rispettivamente 3 e 4).

Per ottenere il risultato è necessario, innanzitutto, ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Il primo passaggio è calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il passaggio non è complicato: infatti, il più piccolo multiplo che hanno in comune 3 e 4 è 12, quindi m.c.m. (3, 4) = 12.

Ora si opera la trasformazione dei due radicali iniziali in altri due che avranno come indice di radice 12: la trasformazione prevede di dividere 12 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}$

$\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}$

Dopo questa trasformazione abbiamo due radicali con lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =\sqrt[12]{2^4}\cdot\sqrt[12]{3^3}\ =\sqrt[12]{2^4\cdot3^3}=\sqrt[12]{16\cdot27}=\sqrt[12]{432}$

Esempio 2

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =$

In questo secondo esempio abbiamo un prodotto di tre radicali con indici diversi (rispettivamente 3, 6 e 9).

Come visto nel primo esempio, per ottenere il risultato è necessario ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il più piccolo multiplo che hanno in comune 3, 6 e 9 è 18, quindi m.c.m. (3, 6, 9) = 18.

Ora si opera la trasformazione dei tre radicali iniziali in altri tre che avranno come indice di radice 18: la trasformazione prevede di dividere 18 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{3}=\sqrt[18]{3^6}$

$\sqrt[6]{2}=\sqrt[18]{2^3}$

$\sqrt[9]{4}=\sqrt[18]{4^2}$

I tre radicali ottenuti hanno lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =\sqrt[18]{3^6}\cdot\sqrt[18]{2^3}\cdot\sqrt[18]{4^2}\ =\sqrt[18]{3^6\cdot2^3\cdot4^2}=\sqrt[18]{729\cdot8\cdot16}=\sqrt[18]{93312}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Equazioni di secondo grado complete

25 Ottobre 2020 / Alessandro

Se stai leggendo questo articolo allora sei nel posto giusto: ecco una lezione chiara ed esaustiva sulle equazioni di secondo grado complete!

Una equazione è di secondo grado quando l’incognita (solitamente x) compare con esponente 2 (alla seconda o al quadrato).

La forma generica dell’equazione di secondo grado è la seguente:

$ax^{2}+bx+c=0$

In base a questa forma generica, a seconda che vi siano o meno alcuni dei suoi termini, si possono avere anche le equazioni di secondo grado pure e le equazioni di secondo grado spurie.

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado complete.

Per svolgere una equazione di secondo grado completa è necessario ricordare una formula risolutiva, che permette di ottenere le soluzioni dell’equazione stessa; la formula risolutiva è la seguente:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In particolari condizioni, cioè quando b è pari, è possibile utilizzare la formula risolutiva ridotta (in breve, formula ridotta):

$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}$

Vediamo con qualche esempio come si applicano le formule sopra riportate.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $x^2+4x-5=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=1$

$b=4$

$c=-5$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$x_{2}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$

In questo esempio è possibile applicare la formula ridotta, in alternativa a quella generica, poiché b è pari. Le soluzioni date dalla formula ridotta devono essere le stesse; verifichiamo:

$x_{1,2}=\frac{-\frac{4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{4}{2})^{2}-1\cdot(-5)}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 2^{2}+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 4+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 9}}{1}=\frac{-2\pm3}{1}=$

Analogamente a quanto riportato sopra, le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-2-3}{1}=\frac{-5}{1}=-5$

$x_{2}=\frac{-2+3}{1}=\frac{1}{1}=1$

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $-x^2+3x+4=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva (precisiamo che non è possibile applicare la formula ridotta, poiché b non è pari):

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=-1$

$b=3$

$c=4$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}=\frac{-3\pm5}{-2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-3-5}{-2}=\frac{-8}{-2}=+4$

$x_{2}=\frac{-3+5}{-2}=\frac{+2}{-2}=-1$

Se la spiegazione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

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Scomposizione con quadrato di un trinomio

16 Luglio 2020 / Alessandro

Scomposizione con quadrato di un trinomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

In questo caso non è difficile individuare il risultato del quadrato di un trinomio, poiché è composto da 6 termini (6 monomi).

Il caso generale è il seguente:

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

In sostanza, per identificare lo sviluppo del quadrato di un trinomio sono necessarie le seguenti condizioni:

Sei monomi
Tre di questi monomi devono essere quadrati
I tre monomi restanti devono corrispondere ai doppi prodotti dei monomi di base

Vediamo ora alcuni esempi della scomposizione con quadrato di un trinomio.

Esempio 1

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: il consiglio è di iniziare ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$x^4$ è il quadrato di $x^2$
$4y^2$ è il quadrato di $2y$
$9z^2$ è il quadrato di $3z$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $x^2$ , $2y$ , $3z$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$4x^2y$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $2y$
$12yz$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2y$ e $3z$
$6x^2z$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $3z$

Osservando, infine, il polinomio iniziale possiamo notare che tutti i monomi hanno segno positivo; di conseguenza, la scomposizione corrisponde alla seguente forma:

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z=(x^2+2y+3z)^2$

Esempio 2

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: come per il primo esempio, iniziamo ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$4a^2$ è il quadrato di $2a$
$9b^2$ è il quadrato di $3b$
$16c^4$ è il quadrato di $4c^2$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $2a$ , $3b$ , $4c^2$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$12ab$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $3b$
$24bc^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $3b$ e $4c^2$
$16ac^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $4c^2$

Se osserviamo il polinomio iniziale notiamo che due termini (doppi prodotti) hanno segno negativo: a differenza del polinomio del primo esempio non è possibile assegnare segno più a tutti i monomi, quindi è necessario un ragionamento sui segni, partendo dalla seguente situazione:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(...2a...3b...4c^2)^2$

Secondo la regola dei segni, il risultato negativo di una moltiplicazione di due termini è dovuto al fatto che uno dei due termini è negativo. Si può iniziare assegnando il segno positivo al primo monomio:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a...3b...4c^2)^2$

Per assegnare il segno del secondo monomio osserviamo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: c’è meno, quindi il secondo monomio dentro parentesi avrà segno meno.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b...4c^2)^2$

Per il segno del terzo monomio osserviamo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: essendo positivi, il terzo monomio dentro parentesi avrà segno più.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b+4c^2)^2$

Ultimo controllo: è necessario verificare che il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo sia corretto. In effetti lo è, perché il segno finale è meno: di conseguenza quello indicato nell’ultimo passaggio è il risultato finale.

Questa non è l’unica scomposizione: qui puoi trovare tutte le scomposizioni un polinomio in fattori!

Esercizi sui radicali

In questa pagina puoi trovare gli esercizi sui radicali, divisi per livelli di difficoltà all’interno di ogni argomento.

Somma algebrica di radicali (videolezione).

Espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

15 Febbraio 2020 / Alessandro

Come si svolgono le espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze? Niente di più semplice!

Per risolvere correttamente questo tipo di espressioni è necessario ricordare alcune regole importanti:

come si svolgono le operazioni con le frazioni;
come si svolge una espressione con le frazioni in generale;
come si applicano le proprietà delle potenze in generale e le frazioni con le proprietà delle potenze.

Per capire bene come svolgere queste espressioni, ci facciamo aiutare da un esempio.

$\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (1-\frac{1}{2} \right )^4=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre: si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle tonde (addizione all’interno della prima parentesi e sottrazione all’interno dell’ultima parentesi):

$\left ( \frac{3+2}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{2-1}{2} \right )^4=$

Ora eseguiamo i calcoli, ottenendo quanto segue:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Osservando l’espressione possiamo notare una proprietà delle potenze che possiamo applicare facilmente: si tratta della potenza di potenza, applicabile nella parentesi quadra. Infatti è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti presenti (il 3 e il 2), ottenendo così:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+ \left (\frac{1}{2} \right )^6:\left (\frac{1}{2} \right )^4=$

Ora è necessario svolgere le due divisioni presenti: in entrambi i casi si tratta di una divisione tra due potenze che hanno la stessa base, quindi è sufficiente sottrarre tra loro gli esponenti, mantenendo la stessa base. In questo modo avremo:

$\left ( \frac{5}{6} \right )^1+ \left (\frac{1}{2} \right )^2=$

Applichiamo gli esponenti presenti alle frazioni all’interno delle parentesi:

$\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=$

Svolgiamo l’ultima operazione e troviamo il risultato di questa espressione:

$\frac{10+3}{12}=\frac{13}{12}$

Una videolezione con un altro esempio può essere di aiuto se hai ancora qualche dubbio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze!

Ecco altre videolezioni di matematica che possono esserti utili:

Quoziente di radicali con lo stesso indice

2 Gennaio 2020 / Alessandro

Il quoziente di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il quoziente di radicali con lo stesso indice è la seguente:

$\sqrt[a]{b} \ :\ \sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\ :\ c}$

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il quoziente, dividendo tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il quoziente è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

$\sqrt[5]{40}\ : \ \sqrt[5]{4}\ =$

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (5).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata dividendo tra loro i radicandi, ottenendo così:

$\sqrt[5]{40} \ : \ \sqrt[5]{4}\ = \sqrt[5]{40 \ :\ 4}= \sqrt[5]{10}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

$\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=$

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 2 (si tratta di radici quadrate).

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

$\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=\sqrt{80 \ : \ 20} =\sqrt{4}=2$

Esempio 3

$\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=$

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici cubiche (indice pari a 3).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

$\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{100 \ : \ 4 \ : \ 5} =\sqrt[3]{5}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Prodotto di radicali con lo stesso indice

29 Dicembre 201929 Dicembre 2019 / Alessandro

Il prodotto di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il prodotto di radicali con lo stesso indice è la seguente:

$\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\cdot\ c}$

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il prodotto, moltiplicando tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il prodotto è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ =$

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (3).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata moltiplicando tra loro i radicandi, ottenendo così:

$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ = \sqrt[3]{4\cdot5}= \sqrt[3]{20}$

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

$\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ =$

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 4.

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

$\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ = \sqrt[4]{27\cdot3}= \sqrt[4]{81}=3$

Esempio 3

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=$

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici quadrate (indice pari a 2).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}$

Il radicando ottenuto si può scomporre in fattori primi, in modo tale da portare alcuni fattori fuori radice:

$240= 2^{4}\cdot3\cdot5$

Essendo radice quadrata e avendo un fattore con esponente pari, è possibile portare il fattore stesso fuori radice, dividendo per 2 l’esponente; otteniamo così:

$\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}=\sqrt{2^{4}\cdot3\cdot5}=2^{2}\sqrt{3\cdot5}=4\sqrt{15}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Somma algebrica di radicali

20 Dicembre 2019 / Alessandro

La somma algebrica di radicali è una tipica operazione che è possibile svolgere con i radicali, ma ricordando alcune regole importanti.

Prima di tutto è importante chiarire che la somma algebrica di radicali è possibile solamente quando i radicali sono simili, cioè quando hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Sono radicali simili:

$3\sqrt{2}$ e $7\sqrt{2}$ , perché sono entrambe radici quadrate (indice 2) ed hanno radicando uguale (2);
$-4\sqrt[4]{5}$ e $+8\sqrt[4]{5}$ , perché sono entrambe radici con indice 4 ed hanno radicando uguale (5).

Chiarito questo importante concetto, vediamo ora come si calcola la somma algebrica di radicali, aiutati da qualche esempio.

Esempio 1

$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=$

In questa somma algebrica si può facilmente verificare che i tre radicali presenti sono tutti simili tra loro, poiché hanno tutti lo stesso indice (si tratta di radici quadrate) ed hanno lo stesso radicando (3).

Per calcolare il risultato di questa operazione è sufficiente sommare i valori che stanno al di fuori della radice, riportando poi la radice al termine del calcolo, cioè:

$(2+5-4)\sqrt{3}=$

Ora non resta che eseguire l’operazione all’interno delle parentesi, ottenendo così il risultato:

$3\sqrt{3}$

Esempio 2

$-5\sqrt{5}+4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8\sqrt{5}-5\sqrt{2}=$

In questa caso è bene fare attenzione: i radicali presenti hanno tutti lo stesso indice (radici quadrate), ma hanno radicando diverso.

Di conseguenza, vanno sommati algebricamente tra loro solamente i radicali simili (da una parte quelli con radicando 5, dall’altra quelli con radicando 2), applicando sempre il passaggio visto nell’esempio 1.

Si ottiene così:

$(-5+8)\sqrt{5}+(+4-6-5)\sqrt{2}=$

Si creano due gruppi, perché vanno tenuti distinti i radicali tra loro simili. Tra una parentesi e l’altra si inserisce il segno +, poiché è il segno neutro.

Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi si ottiene:

$+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Equazioni di secondo grado spurie

15 Settembre 20194 Novembre 2019 / Alessandro

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+bx=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{b}{a}$

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

$4x^{2}-12x=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+4$

$b=-12$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3$

Esempio 2

$-2x^{2}+9x=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=-2$

$b=+9$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}$

Esempio 3

$-5x^{2}-10x=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-5$

$b=-10$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{b^2}=b$ (vero solo se $b>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}$

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

$x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0$

$x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

Vai alla pagina degli esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie!

Equazioni di secondo grado pure

7 Settembre 2019 / Alessandro

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+c=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

$x^{2}-4=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+1$

$c=-4$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2$

Esempio 2

$16x^{2}-1=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=+16$

$c=-1$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}$

Esempio 3

$-25x^{2}+9=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-25$

$c=+9$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione $ax^{2}+bx+c=0$ in modo che $a>0$ . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}$

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}$

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}$

Moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{a}$ (si può fare solo se $a>0$ ) si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{a^2}=a$ (vero solo se $a>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}$

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto $\frac{-c}{a}$ ; a questo punto si ottiene la formula finale:

$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}$

Essa corrisponde alle due formule:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Vai alla pagina degli esercizi sulle equazioni di secondo grado pure!

Verifiche e test

In questa pagina potete trovare alcune verifiche di matematica e test a risposta multipla di matematica (con le relative soluzioni).

Per ogni verifica è indicato l’argomento: gli esercizi sono stati estratti a caso da quelli presenti nel sito.

Verifiche di aritmetica

Espressioni con i numeri naturali	Testo	Soluzione
Potenze in generale ed espressioni in N con le proprietà delle potenze	Testo	Soluzioni
Divisibilità, Scomposizioni in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.	Testo	Soluzioni

Verifiche di algebra

(in fase di preparazione)

Verifiche di geometria

(in fase di preparazione)

Equazioni di primo grado fratte

10 Maggio 201923 Agosto 2019 / Alessandro

Vuoi sapere cosa sono le equazioni di primo grado fratte e come si risolvono? Sei nel posto giusto!

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

$\frac{N(x)}{D(x)}=0$

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
Eliminare i denominatori
Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Prima di iniziare può essere utile rivedere come si risolve una equazione di primo grado intera!

Esempio 1

$\frac{2}{x-1}=1$

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: $x-1$ $\neq$ $0$ .

Con un semplice passaggio, portiamo il $-1$ a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: $x$ $\neq$ $+1$ .

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

$\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}$

Moltiplicando a sinistra e a destra per $x-1$ è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

$2=x-1$

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

$-x=-2-1$

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

$-x=-3$

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per $-1$ , così la x risulterà positiva:

$x=3$

Se confrontiamo la soluzione ottenuta ( $x=3$ ) con le condizioni di esistenza ( $x$ $\neq$ $+1$ ) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

$\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}$

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro ( $2x-2$ ): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

$\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: $x-1$ $\neq$ $0$ . Con un semplice passaggio, portiamo il $-1$ a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: $x$ $\neq$ $+1$ .

Il m.c.m. dei denominatori è $2(x-1)$ , quindi avremo:

$\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}$

Eliminando i denominatori si ottiene $x+3=2(x+1)$ .

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo $x+3=2x+2$ .

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: $x-2x=2-3$

Svolgiamo i calcoli e otteniamo $-x=-1$ .

Moltiplicando per $-1$ a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè $x=1$ .

Se confrontiamo la soluzione ottenuta ( $x=1$ ) con le condizioni di esistenza ( $x$ $\neq$ $+1$ ) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.

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Radice di una frazione

8 Aprile 201921 Agosto 2019 / Alessandro

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

$2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2$

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

$\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}$

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

$\sqrt[]{\frac{16}{25}}$

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

$\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}$

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

$\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}$

Esempio 2

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}$

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

$\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}$

Esempio 3

$\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}$

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

$\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}$

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

$\sqrt[]{\frac{16}{9}}}$

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

$\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}$

Questa che abbiamo appena presentato non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Frazioni con le proprietà delle potenze

5 Aprile 201931 Luglio 2019 / Alessandro

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^3 =\left ( \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left ( \frac{2}{3}\right )^5$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\$

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^6: \left ( \frac{5}{4}\right )^4 =\left ( \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left ( \frac{5}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\$

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=$

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

$\left [ \left ( \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2= \left ( \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}= \left ( \frac{1}{2}\right )^6$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}$

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

$\left ( \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left ( \frac{1}{2}\right )^2 =\left ( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left ( \frac{3}{4}\right )^2$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =$

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

$\left ( \frac{1}{3}\right )^3: \left ( \frac{1}{2}\right )^3 =\left ( \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left ( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left ( \frac{2}{3}\right )^3$

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

$\left ( \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Potenza di una frazione

16 Febbraio 201921 Agosto 2019 / Alessandro

La potenza di una frazione è un’operazione da svolgere con attenzione, poiché si possono commettere alcuni errori importanti.

Per prima cosa è bene distinguere due casi:

Potenza di una frazione con esponente positivo
Potenza di una frazione con esponente negativo

Vediamo nel dettaglio come si affrontano.

1° caso – Potenza con esponente positivo

Questo è il caso più semplice; esso segue la regola seguente:

$\left ( \frac{N}{D} \right )^a=\frac{N^a}{D^a}$

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente positivo è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

$\left ( \frac{3}{2} \right )^2$	$\frac{3^2}{2^2}$	$\frac{9}{4}$
$\left ( \frac{1}{4} \right )^3$	$\frac{1^3}{4^3}$	$\frac{1}{64}$
$\left ( \frac{9}{5} \right )^1$	$\frac{9^1}{5^1}$	$\frac{9}{5}$
$\left ( \frac{10}{7} \right )^0$	$\frac{10^0}{7^0}$	$\frac{1}{1}= 1$

2° caso – Potenza con esponente negativo

Questo è il caso richiede maggiore attenzione (è possibile fare riferimento anche alla lezione sulle potenze con esponente negativo); esso segue la regola seguente:

$\left ( \frac{N}{D} \right )^{-a}=\left ( \frac{D}{N} \right )^{a}=\frac{D^a}{N^a}$

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente negativo è necessario, prima di tutto, invertire la posizione del numeratore con quella del denominatore, togliendo il segno meno dall’esponente; in seguito, si procede come nel primo caso, quindi è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

$\left ( \frac{4}{3} \right )^{-2}$	$\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}$	$\frac{3^2}{4^2}$	$\frac{9}{16}$
$\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3}$	$\left ( \frac{2}{3} \right )^{3}$	$\frac{2^3}{3^3}$	$\frac{8}{27}$
$\left ( \frac{11}{7} \right )^{-1}$	$\left ( \frac{7}{11} \right )^{1}$	$\frac{7^1}{11^1}$	$\frac{7}{11}$
$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5}$	$\left ( \frac{2}{1} \right )^{5}$	$\frac{2^5}{1^5}$	$\frac{32}{1}=32$

Se la spiegazione che ti abbiamo presentato non ti è stata sufficientemente chiara, ti invitiamo a vedere la videolezione!

Questa che abbiamo appena presentato non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Riduzione di radicali allo stesso indice

16 Febbraio 201931 Luglio 2019 / Alessandro

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

(quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[3]{2}$ e $\sqrt[4]{3}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[3]{2}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2⁴ = 16
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[12]{16}$

Consideriamo ora il secondo radicale: $\sqrt[4]{3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 3³ = 27
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{3}$ = $\sqrt[12]{27}$

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[8]{2^6}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

$\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}$

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra $\sqrt[4]{2^3}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$ .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2^3·15 = 2⁴⁵
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$ = $\sqrt[60]{2^{45}}$

Consideriamo il secondo radicale: $\sqrt[3]{17}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 17²⁰
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{17}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$

Consideriamo il terzo radicale: $\sqrt[5]{21}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 21¹²
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[5]{21}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$ = $\sqrt[60]{21^{12}}$

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!

Grado rispetto alle lettere di un polinomio

7 Novembre 20182 Agosto 2019 / Alessandro

Cos’è il grado rispetto alle lettere di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda è necessario sapere cos’è il grado rispetto alla lettera di un monomio.

In sostanza, il grado rispetto alle lettere di un polinomio è l’esponente più alto con cui una certa lettera compare nei termini del polinomio (cioè nei monomi che compongono il polinomio).

In aggiunta, possiamo definire polinomio completo (rispetto ad una lettera) quel polinomio nel quale una lettera è presente dal grado più alto fino al grado 0.

Infine, un polinomio è ordinato quando i monomi sono scritti in modo tale che, rispetto ad una determinata lettera, gli esponenti sono in ordine crescente o decrescente.

Vediamo ora, con qualche esempio, di capire come si determina il grado rispetto alla lettera di un polinomio.

Esempio 1

$-3x^3y^2+6x^4-8y^3$

Per stabilire il grado rispetto alle lettere di questo polinomio (si tratta, in particolare, di un trinomio), è necessario definire il grado più alto di ogni lettera.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale indichiamo i gradi rispetto alle lettere di ogni monomio che compone il polinomio.

Monomio	Grado rispetto alla lettera x	Grado rispetto alla lettera y
$-3x^3y^2$	3	2
$+6x^4$	4	0
$-8y^3$	0	3

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera x è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alle lettera x; il grado più alto della lettera y è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera y.

Possiamo affermare che il polinomio non è completo, né rispetto alla lettera x (mancano, infatti, il grado 1 e il grado 2), né rispetto alla lettera y (manca, infatti, il grado 1).

Infine possiamo anche affermare che il polinomio non è ordinato, né rispetto alla lettera x, né rispetto alla lettera y, in quanto non c’è un ordine preciso dei gradi.

Esempio 2

$9a^3b+\frac{1}{3}a^2b^4-5ab^2-8b$

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per definire i gradi rispetto ad ogni lettera di ogni monomio.

Monomio	Grado rispetto alla lettera a	Grado rispetto alla lettera b
$9a^3b$	3	1
$+\frac{1}{3}a^2b^4$	2	4
$-5ab^2$	1	2
$-8b$	0	1

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera a è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alle lettera a; il grado più alto della lettera b è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alla lettera b.

Possiamo affermare che il polinomio è completo rispetto alla lettera a: sono presenti, infatti, tutti i gradi partendo da quello massimo (in questo caso 3) fino al grado 0; il polinomio non è completo rispetto rispetto alla lettera b (mancano, infatti, il grado 0 e il grado 3).

Infine possiamo affermare che il polinomio è ordinato rispetto alla lettera a (i monomi, infatti, sono scritti in modo tale che gli esponenti della lettera a sono in ordine decrescente); il polinomio non è ordinato rispetto alla lettera b (non c’è un ordine preciso dei gradi).

Grado di un polinomio

3 Novembre 201821 Agosto 2019 / Alessandro

Come si determina il grado di un polinomio?

Non è difficile rispondere a questa domanda: l’importante è sapere cos’è e come si determina il grado di un monomio!

In sostanza, il grado di un polinomio corrisponde al grado più alto dei suoi termini, cioè dei monomi che lo compongono.

In aggiunta, definiamo polinomio omogeneo quel polinomio che ha tutti i termini con lo stesso grado.

Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

$a^4b^2+2a^3-5b^2$

Per stabilire il grado di questo trinomio (perché è formato da tre monomi), è necessario definire il grado di ognuno dei termini del polinomio stesso, cioè il grado di ogni monomio che compone il trinomio.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale inseriamo i singoli monomi e il loro grado, ricordando che il grado di un monomio corrisponde alla somma degli esponenti della parte letterale.

Monomio	Grado del monomio
$a^4b^2$	6 (4 esponente della lettera a + 2 esponente della lettera b)
$+2a^3$	3 (che corrisponde all’esponente della lettera a)
$-5b^2$	2 (che corrisponde all’esponente della lettera b)

Ora che abbiamo definito i gradi dei singoli monomi, è sufficiente osservare qual è il grado più alto: in questo caso è 6, quindi si può affermare che il trinomio $a^4b^2+2a^3-5b^2$ è di sesto grado.

Inoltre, non è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini non sono uguali.

Esempio 2

$-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5$

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per analizzare i singoli termini del polinomio:

Monomio	Grado del monomio
$-\frac{1}{2}x^5$	5 (che corrisponde all’esponente della lettera x)
$+6x^2y^3$	5 (2 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y)
$-\frac{3}{4}xy^3z$	5 (1 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y + 1 esponente della lettera z)
$-6y^5$	5 (che corrisponde all’esponente della lettera y)

Osservando i gradi dei monomi che compongono il polinomio si può notare che sono tutti di grado 5, quindi il polinomio $-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5$ è di quinto grado; inoltre, è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini sono tutti uguali.

Espressioni con le frazioni

29 Ottobre 201823 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere delle espressioni con le frazioni? Sei nel posto giusto!

In questa lezione vedremo come risolvere una espressione con le frazioni, facendo attenzione alle regole di svolgimento che sono necessarie; faremo riferimento alle regole suggerire da altre lezioni presenti nel nostro sito, in particolare:

espressioni con i numeri naturali (per ciò che riguarda l’ordine di svolgimento delle operazioni);
operazioni con le frazioni (per ciò che riguarda lo svolgimento delle quattro operazioni con le frazioni).

Altri contenuti teorici utili verranno suggeriti in seguito svolgendo gli esercizi proposti negli esempi.

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

$\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}:\frac{3}{2}=$

L’espressione dell’esempio proposto non ha parentesi; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte (può essere utile leggere come si svolgono moltiplicazioni di frazioni e divisioni di frazioni):

Si svolgerà la moltiplicazione $\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}$ , moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori delle due frazioni, ottenendo $\frac{16}{15}$ ;
Si svolgerà la divisione $\frac{2}{5} : \frac{3}{2}$ , che verrà trasformata in una moltiplicazione, cioè $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=$

Il passaggio successivo prevede di svolgere la moltiplicazione rimasta, cioè $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$ , ottenendo così:

$\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=$

A questo punto si procede svolgendo addizioni e sottrazioni (può essere utile leggere come si svolgono addizioni di frazioni e sottrazioni di frazioni): essendo frazioni, si deve determinare il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il minimo comune denominatore tra 5 e 15. Essendo 15 multiplo di 5, il denominatore comune è 15, quindi avremo:

$\frac{(15:15) \cdot 16-(15:5) \cdot 1+(15:15) \cdot 4}{15}=$

Svolgendo i passaggi al numeratore, si ottiene:

$\frac{16-3+4}{15}= \frac{17}{15}$

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

$\left [ \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

L’espressione dell’esempio proposto ha parentesi tonde e quadre; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde e, in seguito, quelle all’interno delle quadre.

All’interno delle parentesi tonde è presente un’addizione $\left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right )$ , che si svolge come nel passaggio esposto nell’esempio 1; quindi si avrà:

$\left [ \left ( \frac{6+5}{10} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

Svolgiamo il calcolo all’interno delle parentesi tonde, ottenendo:

$\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=$

Tolte le parentesi tonde, ora è necessario togliere le parentesi quadre, svolgendo la moltiplicazione presente $\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]$ ; è possibile semplificare, 11 con 11 e 10 con 5, ottenendo come risultato:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}=$

Ora è sufficiente svolgere l’ultima operazione, una sottrazione, ottenendo:

$\frac{3-2}{6}= \frac{1}{6}$

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni!

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Espressioni con i prodotti notevoli

31 Luglio 201821 Gennaio 2023 / Alessandro

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

prodotti notevoli;
operazioni con i monomi;
somma algebrica di polinomi;
prodotto di polinomi;
quoziente di un polinomio per un monomio.

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

$(a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=$

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un quadrato di un binomio → $(a+2)^{2}$
una somma per differenza → $(a+1)(a-1)$

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

$(a+2)^{2}= a^{2}+4a+4$
$(a+1)(a-1)= a^{2}-1$

si ottiene:

$a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $a^{2}$ e $+a^{2}$ ; $+4a$ e $-4a$ ; $+4$ e $-1$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$2a^{2}+3$

Esempio 2

$(x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un cubo di un binomio → $(x+1)^{3}$
un prodotto di un monomio per un binomio → $x (x+y)$
un quadrato di un trinomio → $(x+y+2)^{2}$

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

$(x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1$
$x(x+y)= x^{2}+xy$
$(x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y$

si ottiene

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=$

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro ( $x^{2}$ e $+x^{2}$ ; $+xy$ e $+2xy$ ; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=$

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $+3x^{2}$ e $-2x^{2}$ ; $+3x$ e $-4x$ ; $+1$ e $-4$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3$

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con i prodotti notevoli!

Guarda la videolezione nel canale YouTube matematicaoggi!

Quoziente di un polinomio per un monomio

26 Luglio 201823 Ottobre 2022 / Alessandro

Il calcolo letterale è caratterizzato dalla presenza di una serie di operazioni, tra le quali troviamo il quoziente di un polinomio per un monomio. Le altre operazioni da non dimenticare sono la somma algebrica di polinomi, il prodotto di polinomi e i prodotti notevoli.

Per trovare il quoziente di un polinomio per un monomio è utile rivedere la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base):

$a^{n}:a^{m}=a^{n-m}$

Inoltre, per svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, è necessario ricordare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma: il quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio.

Vediamo con qualche esempio come si ottiene il quoziente di un polinomio per un monomio.

Esempio 1

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=$

In questo esempio troviamo un trinomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$x^{6}:x^{2}=x^{4}$
$x^{4}:x^{2}=x^{2}$
$(-3x^{3}y):x^{2}=-3xy$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno delle parentesi: la divisione si svolge dividendo sia i coefficienti (facendo attenzione al quoziente dei segni) che le parti letterali (applicando la seconda proprietà delle potenze, che prevede la sottrazione tra gli esponenti delle lettere uguali).

Solitamente i passaggi sopra descritti si svolgono direttamente; il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=x^{4}+x^{2}-3xy$

Esempio 2

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=$

In questo esempio troviamo un binomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$(-15a^{5}b^{3}):(-5a^{4}b^{3})=+3a$
$(-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno della parentesi: in questo caso si deve prestare particolare attenzione alle divisioni tra le parti letterali, poiché gli esponenti delle lettere del secondo monomio all’interno delle parentesi sono inferiori di quelli del monomio per cui si divide, quindi il risultato è un esponente negativo.

Il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+3a+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

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Prodotto di polinomi

3 Luglio 201812 Ottobre 2022 / Alessandro

Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: il prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.

Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.

Esempio 1

$(a^{2}+2b)\cdot (a+3b)=$

In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):

$a^{2}\cdot a= a^{3}$
$a^{2}\cdot 3b= 3a^{2}b$
$2b\cdot a= 2ab$
$2b\cdot 3b= 6 b^{2}$

Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:

$(a^{2}+2b)\cdot(a+3b)= a^{3}+3 a^{2}b+2ab+6 b^{2}$

Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

$(x+2y-2)\cdot(x-y)=$

In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:

$x\cdot x= x^{2}$
$x\cdot (-y)= -xy$
$2y\cdot x= 2xy$
$2y\cdot(-y)=-2 y^{2}$
$(-2)\cdot x=-2x$
$(-2)\cdot (-y)=2y$

Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:

$(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y$

Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro ( $-xy$ e $2xy$ ). Sommandoli algebricamente si ottiene:

$(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y=x^{2}+xy-2 y^{2}-2x+2y$

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Somma algebrica di polinomi

30 Giugno 201810 Ottobre 2022 / Alessandro

La somma algebrica di polinomi è una operazione molto frequente nel calcolo letterale. Insieme ad essa, importanti sono anche il prodotto di polinomi, i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per eseguire la somma algebrica di polinomi può essere di grande aiuto ricordare come si svolge la somma algebrica di monomi.

Vediamo con qualche esempio come si svolge la somma algebrica di polinomi.

Esempio 1

$(2a^{2}+3b-2x)+ (a^{2}-2b)=$

Il primo passaggio per svolgere questo esercizio è togliere le parentesi, osservando se – all’interno di esse – sono presenti monomi simili tra loro. In questo caso non sono presenti monomi simili, quindi si può procedere togliendo le parentesi.

Per togliere le parentesi è necessario prestare attenzione al segno presente davanti ad esse: in questo caso il segno è positivo davanti ad entrambe le parentesi (nella prima non è indicato, ma è sottinteso). Di conseguenza, si può riscrivere tutto togliendo le parentesi e lasciando gli stessi segni dei termini all’interno, ottenendo così:

$+2a^{2}+3b-2x+a^{2}-2b=$

Ora non resta che applicare la regola di svolgimento della somma algebrica di monomi, che prevede la riduzione dei termini simili (cioè sommare algebricamente tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale). In questo modo si avrà:

$(+2a^{2}+a^{2})+(+3b-2b)-2x=$

Per concludere, la somma algebrica all’interno delle parentesi porta al seguente risultato:

$+3a^{2}+b-2x$

Esempio 2

$(-4x^{2}+3y)-(5x^{2}-3y-2+5z)+(6x^{2}-6+5z)=$

All’interno delle parentesi non sono presenti monomi simili tra loro. Si procede, quindi, togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti alla seconda parentesi: in questo caso, infatti, i segni dei monomi all’interno della parentesi andranno cambiati, mentre gli altri verranno riscritti con lo stesso segno.

$-4x^{2}+3y-5x^{2}+3y+2-5z+6x^{2}-6+5z=$

Ora si procede sommando algebricamente tra loro i monomi simili:

$(-4x^{2}-5x^{2}+6x^{2})+(+3y+3y)+(+2-6)+(-5z+5z)=$

Le somme algebriche all’interno delle parentesi portano al seguente risultato:

$-3x^{2}+6y-4$

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi sulla somma algebrica di polinomi!

Potenze con esponente negativo

10 Marzo 201831 Luglio 2019 / Alessandro

Hai di fronte alcune potenze con esponente negativo e non sai come si svolgono? In questa lezione ti chiariremo ogni dubbio!

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale	Passaggio da svolgere	Reciproco
2	1 : 2 =	$\frac{1}{2}$
+ 5	1 : (+ 5) =	$+\frac{1}{5}$
− 8	1 : (− 8) =	$-\frac{1}{8}$
$\frac{3}{4}$	1 : $\frac{3}{4}$ = 1 · $\frac{4}{3}$ =	$\frac{4}{3}$
$+\frac{5}{7}$	1 : $\left ( +\frac{5}{7} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{7}{5} \right )$	$+\frac{7}{5}$
$-\frac{9}{13}$	1 : $\left ( -\frac{9}{13} \right )$ = 1 · $\left ( -\frac{13}{9} \right )$	$-\frac{13}{9}$
$+\frac{1}{10}$	1 : $\left ( +\frac{1}{10} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{10}{1} \right )$	+ 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

$\left ( a \right )^{-b}$

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

$\left ( \frac{1}{a} \right )^{b}$

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

$\left ( +2 \right )^{-3}$

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

$\left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

$+\frac{1}{8}$

Esempio 2

$\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}$

In questo esempio abbiamo la base $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

$\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

$+\frac{25}{4}$

Vai alla pagina degli esercizi sulle potenze con esponente negativo!

Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

23 Febbraio 201829 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate e svolgere correttamente le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze.

Esempio 1

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)³ − (+ 2)⁵] : (− 2)⁴ + (− 5)² =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)³ : (− 8)² =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)² + (+ 8)⁰ − (− 8)¹ =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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Espressioni con i numeri interi relativi

21 Febbraio 20183 Agosto 2019 / Alessandro

Devi svolgere delle espressioni con i numeri interi relativi? Ecco come puoi fare!

Per prima cosa è bene ricordare che per trovare il valore di una espressione con i numeri interi relativi si devono conoscere le regole di svolgimento di una espressione in generale. In particolare:

se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Nel caso di numeri interi relativi, si parla di somma algebrica.

Non dobbiamo dimenticare, infine, le regole di svolgimento delle operazioni con i numeri interi relativi.

Vediamo nel concreto come applicare queste regole.

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Si ottiene così:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

All’interno della parentesi quadra è presente una parentesi tonda con un solo numero: in questo caso – per togliere la parentesi tonda – è sufficiente eseguire il prodotto dei segni:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

Moltiplicheremo, cioè, il meno che sta al di fuori della tonda con il più del numero all’interno della tonda (evidenziato in blu), ottenendo:

[− 2 − 4] · (− 4) =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

[− 6] · (− 4) =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

[− 6] · (− 4) = + 24

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Si ottiene così:

(+ 47) : [− 32 − 15] =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

(+ 47) : [− 47] =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la divisione:

(+ 47) : [− 47] = − 1

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Esercizi di algebra

Una pagina dedicata interamente ad esercizi di algebra, divisi per argomenti e di diversi livelli di difficoltà, tutto con un click!

Esercizi sui numeri relativi

Ecco una grande raccolta di esercizi sui numeri relativi, divisi per argomenti e per livelli di difficoltà.

Oltre agli esercizi, puoi trovare anche una serie di videolezioni utili per risolvere gli esercizi sui numeri relativi.

Confronto di numeri interi relativi (videolezione)

Opposto di numeri interi relativi

Operazioni con i numeri interi relativi:
_addizione – base (videolezione);
_sottrazione – base (videolezione);
_moltiplicazione – base (videolezione);
_divisione – base (videolezione);
_potenza – base (videolezione);
_misti – intermedio;
_misti – avanzato;

Espressioni con i numeri interi relativi (videolezione):
_con le parentesi tonde;
_con le parentesi tonde e quadre;
_con le parentesi tonde, quadre e graffe.

Potenze con esponente negativo (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Proprietà delle potenze (videolezione) – gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf:
_Prima proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con la stessa base;
_Seconda proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con la stessa base;
_Terza proprietà delle potenze – Potenza di potenza;
_Quarta proprietà delle potenze – Prodotto di potenze con lo stesso esponente;
_Quinta proprietà delle potenze – Quoziente di potenze con lo stesso esponente;
_Esercizi sulle proprietà delle potenze con i numeri interi relativi (livello intermedio – tutte le proprietà);
_Esercizi sulle proprietà delle potenze con i numeri interi relativi (livello intermedio – tutte le proprietà).

Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze (videolezione):
_con le parentesi tonde;
_con le parentesi tonde e quadre;
_con le parentesi tonde, quadre e graffe.

Operazioni con i numeri relativi e le frazioni:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.

Espressioni con i numeri relativi e le frazioni:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.

Oltre alle videolezioni, in caso di ulteriori dubbi, puoi consultare le pagine con le seguenti lezioni:

Esercizi sul calcolo letterale

In questa pagina puoi trovare una ricca raccolta di esercizi sul calcolo letterale.

Espressioni letterali

_Gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf.

Esercizi sui monomi

In generale:
_Coefficiente e parte letterale (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Grado di un monomio (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf);
_Tipi di monomi (gli esercizi sono suddivisi per livello all’interno del pdf).

Operazioni con i monomi:
_somma algebrica di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_prodotto di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_quoziente di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_potenza di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_M.C.D. e m.c.m. di monomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato).

Esercizi sui polinomi

Operazioni:
_somma algebrica di polinomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_prodotto di polinomi (livello base – livello intermedio – livello avanzato);
_quoziente di un polinomio per un monomio (livello base – livello intermedio – livello avanzato).

Prodotti notevoli:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.

Espressioni con i prodotti notevoli:
_livello base;
_livello intermedio;
_livello avanzato.

Lezioni di Matematica!

Ecco la sezione dedicata alle lezioni di matematica!

Potete trovate lezioni su vari argomenti per la scuola media e la scuola superiore:

Per alcuni argomenti è presente un file in formato pdf.

Inoltre, attraverso il canale Youtube matematicaoggi, è possibile seguire le video lezioni sugli argomenti di matematica presenti nel sito.

Infine, trovate materiali per lo studio e per lo svolgimento degli esercizi: tavole numeriche e formulari.

Il sito offre molti esercizi suddivisi per livelli di difficoltà; scegli gli esercizi di cui hai bisogno, collegandoti alla sezione dedicata!

Per qualsiasi richiesta, potete contattarmi per mail scrivendo a matematicaoggi@gmail.com.

Buono studio!

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

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Esempio 3

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Esempio 3

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Verifiche di aritmetica

Verifiche di algebra

Verifiche di geometria

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

1° caso – Potenza con esponente positivo

2° caso – Potenza con esponente negativo

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)2 · (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Espressioni letterali

Esercizi sui monomi

Esercizi sui polinomi

[(− 4)⁵ : (− 4)² − (+ 2)²· (+ 2)³] : [(− 2)²]² + (− 5)² =

(+ 45)² : (− 15)² + (+ 8)⁰ − (+ 2)³ · (− 4)³ : (− 8)² =