Scomposizione con quadrato di un trinomio

Scomposizione con quadrato di un trinomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

In questo caso non è difficile individuare il risultato del quadrato di un trinomio, poiché è composto da 6 termini (6 monomi).

Il caso generale è il seguente:

$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$

In sostanza, per identificare lo sviluppo del quadrato di un trinomio sono necessarie le seguenti condizioni:

Sei monomi
Tre di questi monomi devono essere quadrati
I tre monomi restanti devono corrispondere ai doppi prodotti dei monomi di base

Vediamo ora alcuni esempi della scomposizione con quadrato di un trinomio.

Esempio 1

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: il consiglio è di iniziare ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$x^4$ è il quadrato di $x^2$
$4y^2$ è il quadrato di $2y$
$9z^2$ è il quadrato di $3z$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $x^2$ , $2y$ , $3z$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$4x^2y$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $2y$
$12yz$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2y$ e $3z$
$6x^2z$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $x^2$ e $3z$

Osservando, infine, il polinomio iniziale possiamo notare che tutti i monomi hanno segno positivo; di conseguenza, la scomposizione corrisponde alla seguente forma:

$x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z=(x^2+2y+3z)^2$

Esempio 2

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2$

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: come per il primo esempio, iniziamo ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

$4a^2$ è il quadrato di $2a$
$9b^2$ è il quadrato di $3b$
$16c^4$ è il quadrato di $4c^2$

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base ( $2a$ , $3b$ , $4c^2$ ).

Verifichiamo i doppi prodotti:

$12ab$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $3b$
$24bc^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $3b$ e $4c^2$
$16ac^2$ è il risultato del doppio prodotto dei monomi $2a$ e $4c^2$

Se osserviamo il polinomio iniziale notiamo che due termini (doppi prodotti) hanno segno negativo: a differenza del polinomio del primo esempio non è possibile assegnare segno più a tutti i monomi, quindi è necessario un ragionamento sui segni, partendo dalla seguente situazione:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(...2a...3b...4c^2)^2$

Secondo la regola dei segni, il risultato negativo di una moltiplicazione di due termini è dovuto al fatto che uno dei due termini è negativo. Si può iniziare assegnando il segno positivo al primo monomio:

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a...3b...4c^2)^2$

Per assegnare il segno del secondo monomio osserviamo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: c’è meno, quindi il secondo monomio dentro parentesi avrà segno meno.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b...4c^2)^2$

Per il segno del terzo monomio osserviamo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: essendo positivi, il terzo monomio dentro parentesi avrà segno più.

$4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b+4c^2)^2$

Ultimo controllo: è necessario verificare che il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo sia corretto. In effetti lo è, perché il segno finale è meno: di conseguenza quello indicato nell’ultimo passaggio è il risultato finale.

Questa non è l’unica scomposizione: qui puoi trovare tutte le scomposizioni un polinomio in fattori!

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