Riduzione di radicali allo stesso indice

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

(quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[3]{2}$ e $\sqrt[4]{3}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[3]{2}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2⁴ = 16
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[12]{16}$

Consideriamo ora il secondo radicale: $\sqrt[4]{3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 3³ = 27
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{3}$ = $\sqrt[12]{27}$

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: $\sqrt[8]{2^6}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

$\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}$

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra $\sqrt[4]{2^3}$ , $\sqrt[3]{17}$ e $\sqrt[5]{21}$ .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

Consideriamo il primo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2^3·15 = 2⁴⁵
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[4]{2^3}$ = $\sqrt[60]{2^{45}}$

Consideriamo il secondo radicale: $\sqrt[3]{17}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 17²⁰
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[3]{17}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$

Consideriamo il terzo radicale: $\sqrt[5]{21}$

Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 21¹²
Scriviamo il nuovo radicale: $\sqrt[5]{21}$ = $\sqrt[60]{17^{20}}$ = $\sqrt[60]{21^{12}}$