Quoziente di un polinomio per un monomio

Il calcolo letterale è caratterizzato dalla presenza di una serie di operazioni, tra le quali troviamo il quoziente di un polinomio per un monomio. Le altre operazioni da non dimenticare sono la somma algebrica di polinomi, il prodotto di polinomi e i prodotti notevoli.

Per trovare il quoziente di un polinomio per un monomio è utile rivedere la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base):

$a^{n}:a^{m}=a^{n-m}$

Inoltre, per svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, è necessario ricordare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma: il quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio.

Vediamo con qualche esempio come si ottiene il quoziente di un polinomio per un monomio.

Esempio 1

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=$

In questo esempio troviamo un trinomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$x^{6}:x^{2}=x^{4}$
$x^{4}:x^{2}=x^{2}$
$(-3x^{3}y):x^{2}=-3xy$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno delle parentesi: la divisione si svolge dividendo sia i coefficienti (facendo attenzione al quoziente dei segni) che le parti letterali (applicando la seconda proprietà delle potenze, che prevede la sottrazione tra gli esponenti delle lettere uguali).

Solitamente i passaggi sopra descritti si svolgono direttamente; il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=x^{4}+x^{2}-3xy$

Esempio 2

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=$

In questo esempio troviamo un binomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

$(-15a^{5}b^{3}):(-5a^{4}b^{3})=+3a$
$(-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno della parentesi: in questo caso si deve prestare particolare attenzione alle divisioni tra le parti letterali, poiché gli esponenti delle lettere del secondo monomio all’interno delle parentesi sono inferiori di quelli del monomio per cui si divide, quindi il risultato è un esponente negativo.

Il risultato finale, quindi, è il seguente:

$(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+3a+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}$