Proprietà delle potenze con i numeri interi relativi

Quando si applicano le proprietà delle potenze ai numeri interi relativi, si deve prestare particolare attenzione alle regole legate ai segni.

Le proprietà delle potenze con i numeri interi relativi si applicano nello stesso modo delle proprietà delle potenze con i numeri naturali.

Vediamo, con alcuni esempi, le cinque proprietà delle potenze applicate ai numeri interi relativi.

1_Prodotto di potenze con la stessa base

$(-2) ^{2}\cdot(-2) ^{3}=$

Per svolgere questo esercizio si applica la prima proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sommare gli esponenti; quindi avremo:

$(-2) ^{(2+3)}=(-2) ^{5}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è dispari, quindi il valore della potenza sarà con segno negativo!

$(-2) ^{5}=-32$

2_Quoziente di potenze con la stessa base

$(+3) ^{5}:(+3) ^{2}=$

Per svolgere questo esercizio si applica la seconda proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sottrarre gli esponenti; quindi avremo:

$(+3) ^{(5-2)}= (+3)^{3}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in questo caso, la base è un numero positivo, quindi – indipendentemente dall’esponente – il risultato sarà comunque positivo!

$(+3)^{3}=+27$

3_Potenza di potenza

$[(-2)^{2}]^{4}=$

Per svolgere questo esercizio si applica la terza proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di moltiplicare gli esponenti; quindi avremo:

$(-2)^{(2\cdot4)}=(-2)^{8}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è pari, quindi il valore della potenza sarà con segno positivo!

$(-2)^{8}=+256$

4_Prodotto di potenze con lo stesso esponente

$(-2)^{3}\cdot(+3)^{3}=$

Per svolgere questo esercizio si applica la quarta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di moltiplicare le basi; quindi avremo:

$[(-2)\cdot(+3)]^{3}=(-6)^{3}$

$(-6)^{3}=-216$

5_Quoziente di potenze con lo stesso esponente

$(+40)^{2}:(-8)^{2}=$

Per svolgere questo esercizio si applica la quinta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di dividere le basi; quindi avremo:

$[(+40):(-8)]^{2}=(-5)^{2}$