Prodotto di radicali con indice diverso

Il prodotto di radicali con indice diverso è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

A differenza del prodotto di radicali con lo stesso indice, che si risolve in modo abbastanza semplice, qui è necessario svolgere un passaggio preliminare per ottenere il risultato finale.

Questo passaggio è la riduzione di radicali allo stesso indice, cioè l’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Applicata questa trasformazione, si svolge il prodotto e il gioco è fatto!

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi per capire come svolgere il prodotto di radicali con indice diverso.

Esempio 1

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =$

In questo primo esempio abbiamo un prodotto di due radicali con indici diversi (rispettivamente 3 e 4).

Per ottenere il risultato è necessario, innanzitutto, ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Il primo passaggio è calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il passaggio non è complicato: infatti, il più piccolo multiplo che hanno in comune 3 e 4 è 12, quindi m.c.m. (3, 4) = 12.

Ora si opera la trasformazione dei due radicali iniziali in altri due che avranno come indice di radice 12: la trasformazione prevede di dividere 12 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}$

$\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}$

Dopo questa trasformazione abbiamo due radicali con lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =\sqrt[12]{2^4}\cdot\sqrt[12]{3^3}\ =\sqrt[12]{2^4\cdot3^3}=\sqrt[12]{16\cdot27}=\sqrt[12]{432}$

Esempio 2

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =$

In questo secondo esempio abbiamo un prodotto di tre radicali con indici diversi (rispettivamente 3, 6 e 9).

Come visto nel primo esempio, per ottenere il risultato è necessario ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il più piccolo multiplo che hanno in comune 3, 6 e 9 è 18, quindi m.c.m. (3, 6, 9) = 18.

Ora si opera la trasformazione dei tre radicali iniziali in altri tre che avranno come indice di radice 18: la trasformazione prevede di dividere 18 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

$\sqrt[3]{3}=\sqrt[18]{3^6}$

$\sqrt[6]{2}=\sqrt[18]{2^3}$

$\sqrt[9]{4}=\sqrt[18]{4^2}$

I tre radicali ottenuti hanno lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =\sqrt[18]{3^6}\cdot\sqrt[18]{2^3}\cdot\sqrt[18]{4^2}\ =\sqrt[18]{3^6\cdot2^3\cdot4^2}=\sqrt[18]{729\cdot8\cdot16}=\sqrt[18]{93312}$

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

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