Prodotto di polinomi - matematicaoggi

Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: il prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.

Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.

Esempio 1

$(a^{2}+2b)\cdot (a+3b)=$

In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):

$a^{2}\cdot a= a^{3}$
$a^{2}\cdot 3b= 3a^{2}b$
$2b\cdot a= 2ab$
$2b\cdot 3b= 6 b^{2}$

Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:

$(a^{2}+2b)\cdot(a+3b)= a^{3}+3 a^{2}b+2ab+6 b^{2}$

Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

$(x+2y-2)\cdot(x-y)=$

In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:

$x\cdot x= x^{2}$
$x\cdot (-y)= -xy$
$2y\cdot x= 2xy$
$2y\cdot(-y)=-2 y^{2}$
$(-2)\cdot x=-2x$
$(-2)\cdot (-y)=2y$

Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:

$(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y$

Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro ( $-xy$ e $2xy$ ). Sommandoli algebricamente si ottiene: