Potenze con esponente negativo

Hai di fronte alcune potenze con esponente negativo e non sai come si svolgono? In questa lezione ti chiariremo ogni dubbio!

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale	Passaggio da svolgere	Reciproco
2	1 : 2 =	$\frac{1}{2}$
+ 5	1 : (+ 5) =	$+\frac{1}{5}$
− 8	1 : (− 8) =	$-\frac{1}{8}$
$\frac{3}{4}$	1 : $\frac{3}{4}$ = 1 · $\frac{4}{3}$ =	$\frac{4}{3}$
$+\frac{5}{7}$	1 : $\left ( +\frac{5}{7} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{7}{5} \right )$	$+\frac{7}{5}$
$-\frac{9}{13}$	1 : $\left ( -\frac{9}{13} \right )$ = 1 · $\left ( -\frac{13}{9} \right )$	$-\frac{13}{9}$
$+\frac{1}{10}$	1 : $\left ( +\frac{1}{10} \right )$ = 1 · $\left ( +\frac{10}{1} \right )$	+ 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

$\left ( a \right )^{-b}$

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

$\left ( \frac{1}{a} \right )^{b}$

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

$\left ( +2 \right )^{-3}$

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

$\left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

$+\frac{1}{8}$

Esempio 2

$\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}$

In questo esempio abbiamo la base $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di $\left ( -\frac{2}{5} \right )$ la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

$\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}$

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

$+\frac{25}{4}$