Equazione della retta passante per un punto

Se stai cercando come determinare l’equazione della retta passante per un punto, sei nel posto giusto!

Innanzitutto si parte dalla formula generica, cioè l’equazione della retta passante per un punto dato (che chiameremo P):

$y-y_p=m(x-x_p)$

in cui:

$m$ rappresenta il coefficiente angolare, che indica l’inclinazione della retta da determinare;
$x_p$ e $y_p$ sono le coordinate del punto P.

Conoscendo le coordinate del punto P e il coefficiente angolare è possibile determinare l’equazione della retta passante per quel punto, semplicemente sostituendo i valori nell’equazione.

Vediamo ora alcuni esempi.

Esempio 1

Determinare l’equazione della retta passante per il punto A = (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Riportiamo i dati del nostro esercizio:

$A=(3,4)\rightarrow x_A=3$ e $y_A=4$
$m=+2$

Sostituiamo nell’equazione generica $y-y_p=m(x-x_p)$ i valori sopra riportati:

$y-4=+2(x-3)$

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro e portiamo a destra il $-4$ cambiandolo di segno:

$y=+2x-6+4$

Ora è sufficiente sommare algebricamente $-6$ e $+4$ :

$y=+2x-2$

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per il punto A di coordinate (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Ma è corretto? Possiamo verificarlo graficamente!

Innanzitutto è necessario disegnare la retta su un piano cartesiano: per farlo sono necessari due punti, quindi scegliamo a piacere due valori di ascissa e determiniamo le ordinate corrispondenti. In questo modo troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse $+1$ e $+4$ :

Ascissa scelta (x)	Ordinata corrispondente (y)	Punto sul grafico
$+1$	$y=+2x-2=+2\cdot(+1)-2=+2-2=0$	$B=(+1,0)$
$+4$	$y=+2x-2=+2\cdot(+4)-2=+8-2=+6$	$C=(+4,+6)$

Ora che abbiamo determinato i punti B e C, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Il punto A = (3, 4) appartiene alla retta appena tracciata? Proviamo a posizionarlo sul piano e verifichiamo se è corretto!

Effettivamente il punto A appartiene alla retta tracciata sul piano cartesiano, quindi l’equazione che abbiamo determinato è corretta.

Esempio 2

Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e con coefficiente angolare uguale a – 3.

In questo esempio si parla di retta passante per l’origine: in questo caso si fa riferimento all’origine degli assi, cioè il punto O (0, 0). Riportiamo, quindi, i dati del nostro esercizio:

$O=(0,0)\rightarrow x_O=0$ e $y_O=0$
$m=-3$

Sostituiamo nell’equazione generica $y-y_p=m(x-x_p)$ i valori sopra riportati:

$y-0=-3(x-0)$

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro:

$y=-3x$

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e con coefficiente angolare uguale a – 3.

Anche in questo caso possiamo verificare la correttezza del risultato, disegnando la retta su un piano cartesiano: scegliamo due valori di ascissa a piacere e determiniamo le ordinate corrispondenti. Troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse $-1$ e $-2$ :

Ascissa scelta (x)	Ordinata corrispondente (y)	Punto sul grafico
$-1$	$y=-3x=-3\cdot(-1)=+3$	$A=(-1,+3)$
$-2$	$y=-3x=-3\cdot(-2)=+6$	$B=(-2,+6)$

Ora che abbiamo determinato i punti A e B, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Con questo disegno possiamo già verificare che la retta appena tracciata passa per l’origine degli assi, quindi per il punto O (0, 0). Lo fissiamo ugualmente per completezza:

Ora che il grafico è completo, possiamo confermare che l’equazione che abbiamo determinato è corretta.

Se hai ancora dubbi su come si calcola la retta passante per un punto, guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

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