Criterio generale di divisibilità

Il criterio generale di divisibilità permette di stabilire se un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale, senza eseguire la divisione.

Il primo passaggio consiste nella scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Un volta eseguita la scomposizione, si osservano i fattori: si può affermare che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) si trovano tutti i fattori primi del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale.

Infine, è possibile ottenere il quoziente della divisione, dividendo i fattori corrispondenti del dividendo e del divisore, applicando la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base).

Esempio 1:

Verificare se 504 è divisibile per 36. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

$504= 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7$

$36= 2^{2}\cdot 3^{2}$

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 504 si può vedere che i fattori hanno esponente maggiore o uguale ai fattori del numero 36: si può, quindi, affermare che 504 è divisibile per 36.

3_Quoziente della divisione: il quoziente si può ottenere dividendo tra loro i fattori primi corrispondenti ottenuti dalla scomposizione in fattori primi:

$504:36=(2^{3}\cdot3^{2}\cdot7):(2^{2}\cdot3^{2})=(2^{3}:2^{2})\cdot(3^{2}:3^{2})\cdot7=2^{1}\cdot3^{0}\cdot7=2\cdot1\cdot7=14$

Esempio 2:

Verificare se 810 è divisibile per 324. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

$810=2\cdot 3^{4}\cdot5$

$324= 2^{2}\cdot 3^{4}$

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 810 si può vedere che il fattore 2 ha esponente minore del fattore 2 del numero 324: si può, quindi, affermare che 810 non è divisibile per 324.

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