Le potenze

16 Ottobre 20152 Ottobre 2020 / Alessandro

Le potenze ti creano problemi? Ecco la lezione che fa per te!

Definizione di potenza

Dati una base ed un esponente, l’operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente.

a^b = c

con c = a ∙ a ∙ a … b volte

I termini dell’operazione di elevamento a potenza sono:

a – base
b – esponente
c – valore della potenza

Esempi di potenza:

2³ = 8 – infatti: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
5² = 25 – infatti: 5 ∙ 5 = 25
3⁴ = 81 – infatti: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81

Le potenze con esponente 2 si possono leggere “alla seconda” o “al quadrato”.

Le potenze con esponente 3 si possono leggere “alla terza” o “al cubo”.

Potenze particolari

Sono potenze che hanno sempre lo stesso valore.

Di seguito si riportano i diversi casi:

0 elevato qualsiasi numero (diverso da 0) dà come valore 0: 0ⁿ = 0, con n ≠ 0
1 elevato qualsiasi numero dà come valore 1: 1ⁿ = 1
Un numero (diverso da 0) elevato 0 dà come valore 1: n⁰ = 1, con n ≠ 0
Un numero elevato 1 dà come valore il numero iniziale: n¹ = n
0 elevato 0 non ha significato: 0⁰ = non ha significato

Se hai ancora dei dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale Youtube matematicaoggi!

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Test a risposta multipla!

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Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore

14 Ottobre 20157 Agosto 2019 / Alessandro

Ridurre più frazioni allo stesso denominatore significa trasformare due o più frazioni in altre equivalenti, ma tutte aventi lo stesso denominatore.

Questo procedimento si chiama anche riduzione di più frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.).

I passaggi per ridurre due o più frazioni allo stesso m.c.d. sono i seguenti:

si devono ridurre ai minimi termini le frazioni iniziali (se già non lo sono);
si trova il minimo comune denominatore (m.c.d.), cioè si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori delle frazioni ridotte, che sarà il denominatore delle nuove frazioni;
si trovano le nuove frazioni, che avranno denominatore pari al m.c.d. e numeratore che si calcolerà dividendo il m.c.d. per il denominatore della frazione iniziale e moltiplicandolo per il numeratore.

Esempio:

Ridurre allo stesso minimo minimo comune denominatore le frazioni

1. Innanzitutto, si devono ridurre ai minimi termini, cioè semplificare, le frazioni date (se già non lo sono).

Le frazioni da considerare per la trasformazione sono:

2. Il minimo denominatore comune (m.c.d.) corrisponde al m.c.m. (10; 12; 9) cioè 180, che sarà il denominatore delle nuove frazioni.

3. Si opera la trasformazione dividendo 180 per il denominatore di ogni frazione e moltiplicando per il numeratore, ottenendo quanto segue:

Come si può vedere, le frazioni ottenute dopo la trasformazione sono tutte con lo stesso denominatore e sono equivalenti a quelle iniziali.

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Proprietà delle quattro operazioni

14 Ottobre 20157 Agosto 2019 / Alessandro

Proprietà delle quattro operazioni: ecco la lezione che fa per te!

Addizione

Commutativa: cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

Esempio:
25 + 32 = 32 + 25 = 57

Associativa: data un’addizione, se si sostituisce a due o più addendi la loro somma, il risultato dell’addizione iniziale non cambia.

Esempio:
23 + 17 + 25 = 40 + 25 = 65

Dissociativa: se ad uno o più addendi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all’addendo o agli addendi sostituiti, il risultato dell’addizione iniziale non cambia.

Esempio:
70 + 30 = 40 + 30 + 30 = 100

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Sottrazione

Invariantiva: in una sottrazione possiamo addizionare o sottrarre uno stesso numero al minuendo e al sottraendo e la differenza non cambia.

Esempio:
50 – 10 = 40

Addizionando 5 a minuendo e sottraendo ottengo:
(50 + 5) – (10 + 5) = 55 – 15 = 40
Sottraendo 2 a minuendo e sottraendo ottengo:
(48 – 2) – (8 – 2) = 46 – 6 = 40

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Moltiplicazione

Commutativa: cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Esempio:
15 • 10 = 10 • 15 = 150

Associativa: data una moltiplicazione, se si sostituisce a due o più fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione iniziale non cambia.

Esempio:
7 • 4 • 5 = 7 • 20 = 140

Dissociativa: se ad uno o più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore o ai fattori sostituiti, il risultato del prodotto iniziale non cambia.

Esempio:
20 • 40 = 20 • 5 • 8 = 800

Distributiva: se dobbiamo moltiplicare un numero per una somma (o una differenza) non ancora eseguita, lo possiamo moltiplicare per ciascuno dei termini della somma (o della differenza), calcolando poi la somma (differenza) dei prodotti ottenuti.

Esempio:
7 • (5 + 4) = (7 • 5) + (7 • 4) = 35 + 28 = 63
5 • (6 – 4) = (5 • 6) – (5 • 4) = 30 – 20 = 10

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Divisione

Invariantiva: se si moltiplica o si divide per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.

Esempio:
40 : 10 = 4

Moltiplicando per 3 il dividendo e il divisore ottengo:
40 : 10 = (40 • 3) : (10 • 3) = 120 : 30 = 4
Dividendo per 2 il dividendo e il divisore ottengo:
40 : 10 = (40 : 2) : (10 : 2) = 20 : 5 = 4

Distributiva: se dobbiamo dividere una somma (o una differenza) non ancora eseguita per un numero, possiamo dividere ogni termine della somma (o della differenza) per il numero, calcolando poi la somma (differenza) dei quozienti ottenuti.

Esempio:
(50 + 45) : 5 = (50 : 5) + (45 : 5) = 10 + 9 = 19
(60 – 40) : 10 = (60 : 10) – (40 : 10) = 6 – 4 = 2

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Semplificazione di una frazione

13 Ottobre 201515 Agosto 2019 / Alessandro

In questa lezione vedremo come si svolge la semplificazione di una frazione.

Semplificare una frazione significa ridurre la frazione ai minimi termini, cioè trasformarla in un’altra equivalente con i termini più piccoli.

Si tratta di un’applicazione della proprietà invariantiva delle frazioni.

Per ridurre una frazione ai minimi termini è possibile operare in due modi:

dividendo i suoi termini per il loro M.C.D.;
dividendo i suoi termini per divisori comuni a entrambi (per divisioni successive), finché il divisore comune non è 1.

Esempio:

Semplificare la frazione

1. Riduzione ai minimi termini con M.C.D.

Si calcola il Massimo Comune Divisore di numeratore e denominatore; in questo caso:

M.C.D. (140, 60) = 20

In seguito, si dividono numeratore e denominatore per il loro M.C.D.:

La frazione che si ottiene è la frazione irriducibile (non più semplificabile) ed equivalente a quella iniziale.

2. Riduzione ai minimi termini con divisioni successive

Considerando la frazione, posso dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune, per esempio 5:

Ora posso dividere numeratore e denominatore per 2:

Posso dividere numeratore e denominatore ancora per 2:

Nella pratica, i passaggi di questo metodo di semplificazione si possono sintetizzare secondo lo schema che segue:

Ad ogni passaggio si dividono numeratore e denominatore per uno stesso numero, fino a quando numeratore e denominatore non hanno più divisori comuni.

Come nel primo metodo, la frazione che si ottiene è la frazione irriducibile (non più semplificabile) ed equivalente a quella iniziale.

Per concludere, con entrambi i metodi si ottiene una frazione irriducibile o ridotta ai minimi termini, perché numeratore e denominatore (nell’esempio, 7 e 3) non hanno divisori comuni.

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Proprietà invariantiva delle frazioni

12 Ottobre 201523 Agosto 2019 / Alessandro

Moltiplicando o dividendo (se è possibile) i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da 0, si ottiene una frazione equivalente a quella di partenza (proprietà invariantiva o fondamentale delle frazioni).

Data una frazione, le frazioni ad essa equivalenti sono infinite. L’insieme formato da queste frazioni è detto classe di frazioni equivalenti.

In ogni classe di frazioni equivalenti compaiono:

una e una sola frazione irriducibile (quella i cui termini sono primi tra loro);
infinite frazioni riducibili (tutte quelle i cui termini ammettono divisori comuni diversi dall’unità).

Esempio:
Consideriamo la frazione

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2:

Dividiamo numeratore e denominatore per 2:

Le frazioni

sono frazioni equivalenti, cioè rappresentano la stessa parte dell’intero, come si può vedere chiaramente dallo schema sotto riportato.

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Lezioni sulle equazioni

Equazioni di primo grado intere

12 Ottobre 20156 Agosto 2019 / Alessandro

Le equazioni di primo grado intere sono le equazioni nelle quali l’incognita non compare a denominatore.

Per risolvere le equazioni di primo grado intere si segue un procedimento preciso:

si eliminano eventuali denominatori presenti;
si portano al primo membro tutti i termini che contengono l’incognita e al secondo membro tutti i termini noti (i numeri senza l’incognita), cambiandoli di segno;
si riducono i termini simili al primo membro e si svolgono i calcoli al secondo membro.

Al termine dei passaggi sopra elencati, l’equazione risulterà nella forma:

ax = b

In base ai valori di a e di b, si possono presentare tre casi diversi:

Equazione determinata. Quando il valore di a è diverso da zero, si applica il secondo principio di equivalenza, ottenendo x = b/a;
Equazione indeterminata. Quando a e b sono uguali a zero, l’equazione è del tipo 0x = 0; ciò vuol dire che l’equazione è vera per qualsiasi valore di x, perché qualunque numero moltiplicato per zero dà zero (è un’identità);
Equazione impossibile. Se a è uguale a zero e b è diverso da zero, l’equazione è del tipo 0x = b; in questo caso, l’equazione non è verificata per nessun valore di x (infatti non esistono numeri che, moltiplicati per zero, diano un numero diverso da zero).

Esempio 1

3x – 2 = 2x + 5

Porto al primo membro il 2x e porto al secondo membro il – 2, cambiandoli di segno.
3x – 2x = 5 + 2

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
x = 7 L’equazione è determinata.

Esempio 2

5 – 3x = 5 + 2x – 5x

Porto al primo membro il 2x e il – 5x e porto al secondo membro il 5, cambiandoli di segno.
– 3x – 2x + 5x = 5 – 5

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
0x = 0 L’equazione è indeterminata.

Esempio 3

2x – 3 = 2x + 5

Porto al primo membro il 2x e porto al secondo membro il – 3, cambiandoli di segno.
2x – 2x = 5 + 3

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
0x = 8 L’equazione è impossibile.

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Test a risposta multipla!

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Tipi di frazioni

9 Ottobre 201523 Agosto 2019 / Alessandro

Esistono tre tipi di frazioni:

Frazioni proprie, quando il numeratore è minore del denominatore.

Esempi:

è una frazione propria, perché 1 < 2.

è una frazione propria, perché 3 < 5.

è una frazione propria, perché 12 < 17.

Frazioni improprie, quando il numeratore è maggiore (ma non multiplo) del denominatore.

Esempi:

è una frazione impropria, perché 3 > 2.

è una frazione impropria, perché 7 > 6.

è una frazione impropria, perché 15 > 11.

Frazioni apparenti, quando il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.

Esempi:

è una frazione apparente, perché 6 è multiplo di 2.

è una frazione apparente, perché 7 = 7.

è una frazione apparente, perché 20 è multiplo di 5.

è una frazione apparente, perché 18 = 18.

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Se questa lezione ti è stata di aiuto, dai un’occhiata alle altre lezioni sulle frazioni:

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Lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni

Ecco per voi una grande raccolta di lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni, con tanti esempi e videolezioni direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Lezioni sulle frazioni:

Approfondimenti:

Frazioni ed euro.

Lezioni su rapporti e proporzioni:

Dopo aver studiato queste lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni, vai alla pagina dedicata agli esercizi!

Le frazioni

9 Ottobre 201513 Settembre 2021 / Alessandro

Le frazioni sono un concetto matematico fondamentale e le possiamo incontrare ogni giorno in tantissime situazioni.

In matematica si chiama frazionamento l’operazione di divisione di una grandezza in parti uguali.

Le parti uguali che si ottengono frazionando una grandezza si dicono unità frazionarie.

In generale una frazione si indica con:

in cui:

il numero n si chiama numeratore;
il numero m si chiama denominatore;
la linea orizzontale che li separa si chiama linea di frazione.

Esempio 1:

si legge “un terzo” e si può rappresentare con la figura seguente:

cioè un intero diviso in tre parti uguali; di queste parti, se ne considera una.

Esempio 2:

si legge “quattro quinti” e si può rappresentare con la figura seguente:

cioè un intero diviso in cinque parti uguali; di queste parti, se ne considerano quattro.

Esempio 3:

si legge “cinque mezzi” e si può rappresentare con la figura seguente:

cioè tre interi divisi in due parti uguali (totale di sei parti); di queste parti, se ne considerano cinque.

Vai alla pagina degli esercizi sulle frazioni!

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Valore posizionale delle cifre

9 Ottobre 201518 Settembre 2019 / Alessandro

Valore posizionale delle cifre, ovvero il fatto che ogni cifra – all’interno di un numero – occupa una posizione precisa.

Consideriamo il numero 256.374.032,746 e indichiamo le posizioni di ogni sua cifra.

Ogni cifra occupa una posizione precisa; ogni posizione è indicata con un simbolo, che ha un significato ed un valore secondo la tabella che segue:

Esempi:

1. Scrivere il valore posizionale di ogni cifra del numero 1.567,39.

1.567,39 = 1uk, 5h, 6da, 7u, 3d, 9c

2. Scrivere in forma normale il numero 1h, 5da, 4u, 9d, 7c, 2m.

1h, 5da, 4u, 9d, 7c, 2m = 154,972

Vai alla pagina degli esercizi sul valore posizionale delle cifre!

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Se questa lezione ti ha aiutato a capire l’argomento, dai un’occhiata alle altre lezioni su numeri, operazioni e problemi:

Se preferisci guardare delle videolezioni, ecco alcuni contenuti interessanti:

Lezioni sui numeri relativi

Operazioni con i numeri interi relativi

8 Ottobre 20156 Agosto 2019 / Alessandro

Quando si parla di numeri relativi si deve fare particolarmente attenzione ad alcune regole o semplici passaggi che permettono di trovare i risultati corretti: di seguito sono riportate le regole da applicare nelle operazioni con i numeri interi relativi.

Addizione di numeri interi relativi

Numeri relativi concordi (hanno lo stesso segno): il risultato avrà il segno uguale a quello dei numeri relativi iniziali e valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei numeri iniziali.

Esempi:
(+ 3) + (+ 5) = + (3 + 5) = + 8

(– 7) + (– 4) = – (7 + 4) = – 11

Numeri relativi discordi (hanno il segno diverso): il risultato avrà il segno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei valori assoluti dei numeri iniziali.

Esempi:
(+ 4) + (– 6) = – (6 – 4) = – 2

(– 2) + (+ 5) = + (5 – 2) = + 3

Vai alla pagina degli esercizi sull’addizione di numeri interi relativi!

Sottrazione di numeri interi relativi

Se davanti ad una parentesi si trova il segno meno (–), il segno del numero dentro parentesi cambia. Quindi, il primo passaggio consiste nel togliere le parentesi, applicando la regola del cambio segno. In seguito, si trova il risultato applicando le regole dell’addizione.

Esempi:
(+ 2) – (+ 6) = + 2 – 6 = – 4
Il – davanti al (+ 6) cambia il segno e ottengo – 6; poi eseguo il calcolo;

(– 3) – (– 7) = – 3 + 7 = + 4
Il – davanti al (– 7) cambia il segno e ottengo + 7; poi eseguo il calcolo;

(+ 4) – (– 5) = + 4 + 5 = + 9
Il – davanti al (– 5) cambia il segno e ottengo + 5; poi eseguo il calcolo;

(– 1) – (+ 9) = – 1 – 9 = – 10
Il – davanti al (+ 9) cambia il segno e ottengo – 9; poi eseguo il calcolo;

Per il calcolo del risultato può essere utile, almeno inizialmente, utilizzare la linea dei numeri.

Vai alla pagina degli esercizi sulla sottrazione di numeri interi relativi!

Moltiplicazione di numeri interi relativi

È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:

+ $\cdot$ + = + (“più per più fa più”)
– $\cdot$ – = + (“meno per meno fa più”)
+ $\cdot$ – = – (“più per meno fa meno”)
– $\cdot$ + = – (“meno per più fa meno”)

Esempi:
(+ 3) $\cdot$ (+ 5) = + (3 $\cdot$ 5) = + 15
(– 2) $\cdot$ (– 6) = + (2 $\cdot$ 6) = + 12
(+ 5) $\cdot$ (– 4) = – (5 $\cdot$ 4) = – 20
(– 2) $\cdot$ (+ 8) = – (2 $\cdot$ 8) = – 16

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Divisione di numeri interi relativi

È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:

+ : + = + (“più diviso più fa più”)
– : – = + (“meno diviso meno fa più”)
+ : – = – (“più diviso meno fa meno”)
– : + = – (“meno diviso più fa meno”)

Esempi:
(+ 30) : (+ 5) = + (30 : 5) = + 6
(– 20) : (– 4) = + (20 : 4) = + 5
(+ 15) : (– 3) = – (15 : 3) = – 5
(– 12) : (+ 4) = – (12 : 4) = – 3

Vai alla pagina degli esercizi sulla divisione di numeri interi relativi!

Potenza di numeri interi relativi

La potenza di un numero relativo positivo dà come risultato un numero positivo, con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

Esempi:

La potenza di un numero relativo negativo dà come risultato:

– Un numero positivo – se l’esponente è pari – con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

– Un numero negativo – se l’esponente è dispari – con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

Esempi:

Vai alla pagina degli esercizi sulla potenza di numeri interi relativi!

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Operazioni con i monomi

24 Settembre 201531 Luglio 2019 / Alessandro

Se devi svolgere alcune operazioni con i monomi, questa lezione ti aiuterà alla grande!

Somma algebrica di monomi

Dati due o più monomi simili, la loro somma algebrica è un monomio simile che ha coefficiente pari alla somma algebrica dei coefficienti dei monomi iniziali.

Esempio 1:

Spiegazione esempio 1: I monomi presenti in questa somma algebrica sono tutti simili tra loro; per trovare il risultato è sufficiente eseguire la somma algebrica dei coefficienti dei monomi e lasciare la stessa parte letterale.

Esempio 2:

Spiegazione esempio 2: I monomi presenti in questa somma algebrica non sono tutti simili tra loro; per trovare il risultato si consiglia di evidenziare i monomi che tra loro sono simili; infine, si calcola il risultato eseguendo la somma algebrica dei coefficienti dei monomi e lasciando la stessa parte letterale.

Vai alla pagina degli esercizi sulla somma algebrica di monomi!

Prodotto di monomi

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al prodotto delle parti letterali dei monomi iniziali (si applica la prima proprietà delle potenze).

Esempi:

Vai alla pagina degli esercizi sul prodotto di monomi!

Quoziente di monomi

Il quoziente di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al quoziente dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al quoziente delle parti letterali dei monomi iniziali (si applica la seconda proprietà delle potenze).

Esempi:

Vai alla pagina degli esercizi sul quoziente di monomi!

Potenza di monomi

Per calcolare la potenza di un monomio si deve elevare il coefficiente all’esponente presente; per la parte letterale si applica la terza proprietà delle potenze (potenza di potenza).

Esempi:

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Minimo comune multiplo (m.c.m.)

21 Settembre 201526 Agosto 2019 / Alessandro

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) è il più piccolo tra tutti i multipli comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Per calcolare il m.c.m.:

Si scompongono i numeri considerati in fattori primi;
Si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il maggiore esponente.

Esempio 1

Calcolare il minimo comune multiplo tra 8 e 12

m.c.m. (8; 12) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 8 e di 12:

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 8 e 12, notiamo che 2 è fattore comune (prendiamo quello con esponente più alto) e 3 è fattore non comune, quindi:

Esempio 2

Calcolare il minimo comune multiplo tra 300 e 315

m.c.m. (300; 315) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 300 e di 315:

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 300 e 315, notiamo che 3 e 5 sono fattori comuni (prendiamo quelli con esponente più alto) e 2 e 7 sono fattori non comuni, quindi:

Se la spiegazione sopra riportata e gli esempi proposti non ti hanno aiutato, guarda questa utile videolezione direttamente dal canale Youtube matematicaoggi!

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Massimo Comune Divisore (M.C.D.)

21 Settembre 201531 Luglio 2019 / Alessandro

Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) è il più grande tra tutti i divisori comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Per calcolare il M.C.D.:

Si scompongono i numeri considerati in fattori primi;
Si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente.

Precisazione importante: se non esistono fattori comuni, il M.C.D. vale 1.

Esempio 1

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 6 e 15

M.C.D. (6; 15) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 6 e di 15:

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 6 e 15, notiamo che 3 è l’unico fattore comune, quindi:

Esempio 2

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 34 e 35

M.C.D. (34; 35) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 34 e di 35:

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 34 e 35, notiamo che non ci sono fattori comuni, quindi:

Esempio 3

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 200 e 350

M.C.D. (200; 350) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 200 e di 350:

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 200 e 350, notiamo che i fattori comuni sono il 2 e il 5; per il calcolo del risultato dobbiamo prendere quelli con l’esponente più basso, quindi:

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Lezioni sulle potenze

Proprietà delle potenze

11 Settembre 20159 Ottobre 2021 / Alessandro

Nelle espressioni aritmetiche e nelle espressioni algebriche compaiono spesso operazioni con le potenze che, almeno inizialmente, possono sembrare difficili o laboriose: le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono regole che permettono di risolvere in modo veloce e semplice le operazioni in cui compaiono le potenze.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempi

4² · 4⁴ = 4⁽²⁺⁴⁾ = 4⁶

7⁵ · 7³ = 7⁽⁵⁺³⁾ = 7⁸

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2. Quoziente di potenze con la stessa base

Definizione
La divisione tra due potenze che hanno la stessa base dà come risultato una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempi

6⁵ : 6³ = 6^(5-3) = 6²

2⁷ : 2⁴ = 2^(7-4) = 2³

Vai alla pagina degli esercizi sul quoziente di potenze con la stessa base!

3. Potenza di potenza

Definizione
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi

(6²)⁴ = 6^{(2 · 4)} = 6⁸

(5³)⁵ = 5^{(3 · 5)} = 5¹⁵

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4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi

4² · 7² = (4 · 7)² = 28²

3⁴ · 5⁴ = (3 · 5)⁴ = 15⁴

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5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Definizione
La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente dà come risultato una potenza che ha per base la divisione delle basi per esponente lo stesso esponente.

Esempi

42⁵ : 6⁵ = (42 : 6)⁵ = 7⁵

81³ : 27³ = (81 : 27)³ = 3³

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Lezioni su multipli e divisori

Multipli, sottomultipli e divisori;
Criteri di divisibilità;
Scomposizione in fattori primi;
Massimo Comune Divisore (M.C.D.) – definizione;
Massimo Comune Divisore (M.C.D.) – calcolo con la scomposizione in fattori primi;
Minimo comune multiplo (m.c.m.) – definizione;
Minimo comune multiplo (m.c.m.) – calcolo con la scomposizione in fattori primi;
Problemi risolvibili con il Massimo Comune Divisore (M.C.D.);
Problemi risolvibili con il minimo comune multiplo (m.c.m.);
Radice con la scomposizione in fattori primi.

Scomposizione in fattori primi

11 Settembre 201530 Settembre 2020 / Alessandro

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi.

La scomposizione si esegue sui numeri composti, che sono numeri divisibili per se stessi, per 1 e per altri numeri.

Per eseguire la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) di un numero:

Si divide il numero considerato per il suo più piccolo divisore primo;
Si divide il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo … e così via finché non si ottiene come quoziente 1.

Esempio 1: scomporre in fattori primi il numero 180

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 180 è 2, quindi eseguo la divisione 180 : 2, ottenendo 90; il più piccolo divisore primo di 90 è 2, quindi eseguo la divisione 90 : 2, ottenendo 45; il più piccolo divisore primo di 45 è 3, quindi eseguo la divisione 45 : 3, ottenendo 15; il più piccolo divisore primo di 15 è 3, quindi eseguo la divisione 15 : 3, ottenendo 5; 5 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 5 : 5, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5

Esempio 2: scomporre in fattori primi il numero 630

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 630 è 2, quindi eseguo la divisione 630 : 2, ottenendo 315; il più piccolo divisore primo di 315 è 3, quindi eseguo la divisione 315 : 3, ottenendo 105; il più piccolo divisore primo di 105 è 3, quindi eseguo la divisione 105 : 3, ottenendo 35; il più piccolo divisore primo di 35 è 5, quindi eseguo la divisione 35 : 5, ottenendo 7; 7 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 7 : 7, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:

630 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 2² · 3 · 5 · 7

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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Lezioni sul calcolo letterale

Lezioni sul calcolo letterale in generale:

Espressioni letterali.

Lezioni sui monomi:

Lezioni sui polinomi:

Prodotti notevoli

10 Settembre 20151 Agosto 2019 / Alessandro

Nelle espressioni algebriche sono presenti particolari operazioni tra polinomi: i prodotti notevoli.

Si tratta di particolari moltiplicazioni tra polinomi che si risolvono seguendo un procedimento standard.

Queste particolari operazioni si aggiungono alle altre classiche del calcolo letterale, riguardanti i polinomi: somma algebrica di polinomi, prodotto di polinomi e quoziente di un polinomio per un monomio.

Di seguito ti presento come risolvere i prodotti notevoli.

Somma per differenza

Definizione
Il prodotto della somma per la differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

Esempi

Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!

Quadrato di un binomio

Definizione
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, al doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il quadrato del secondo monomio.

Esempi

Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!

Quadrato di un trinomio

Definizione
Il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio, al quadrato del secondo monomio, al quadrato del terzo monomio e ai doppi prodotti dei monomi del trinomio.

Esempi

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Cubo di un binomio

Definizione
Il cubo di un binomio è uguale a:

Il cubo del primo monomio;
Il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo;
Il triplo prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo;
Il cubo del secondo monomio.

Esempi

Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!

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Lezioni su numeri, operazioni e problemi

Espressioni con i numeri naturali

10 Settembre 201530 Settembre 2020 / Alessandro

Espressioni con i numeri naturali: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Per svolgere un’espressione aritmetica, si segue un ordine preciso:

se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.

Esempio 1 – Espressione senza parentesi

25 : 5 + 12 · 2 – 20 : 4 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di moltiplicazione e di divisione:

= 5 + 24 – 5 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di addizione e sottrazione (in ordine):

= 29 – 5 + 5 – 6 =
La prima sottrazione, ottenendo:

= 24 + 5 – 6 =
L’addizione, ottenendo:

= 29 – 6 = 23

Esempio 2 – Espressione con le parentesi

{9 · 9 – [8 + (1 + 4)]} : {[37 – (51 – 16)] · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi tonde:

= {9 · 9 – [8 + 5]} : {[37 – 35] · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi quadre:

= {9 · 9 – 13} : {2 · 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi graffe:

= {81 – 13} : 4 =
Eseguo l’operazione all’interno della parentesi graffa rimasta:

= 68 : 4 = 17

Se gli esempi non ti hanno chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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