Espressioni con i prodotti notevoli

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

prodotti notevoli;
operazioni con i monomi;
somma algebrica di polinomi;
prodotto di polinomi;
quoziente di un polinomio per un monomio.

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

$(a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=$

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un quadrato di un binomio → $(a+2)^{2}$
una somma per differenza → $(a+1)(a-1)$

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

$(a+2)^{2}= a^{2}+4a+4$
$(a+1)(a-1)= a^{2}-1$

si ottiene:

$a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $a^{2}$ e $+a^{2}$ ; $+4a$ e $-4a$ ; $+4$ e $-1$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$2a^{2}+3$

Esempio 2

$(x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=$

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

un cubo di un binomio → $(x+1)^{3}$
un prodotto di un monomio per un binomio → $x (x+y)$
un quadrato di un trinomio → $(x+y+2)^{2}$

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

$(x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1$
$x(x+y)= x^{2}+xy$
$(x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y$

si ottiene

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=$

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro ( $x^{2}$ e $+x^{2}$ ; $+xy$ e $+2xy$ ; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=$

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

$x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=$

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro ( $+3x^{2}$ e $-2x^{2}$ ; $+3x$ e $-4x$ ; $+1$ e $-4$ ) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

$x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3$

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