Equazioni di secondo grado complete

Se stai leggendo questo articolo allora sei nel posto giusto: ecco una lezione chiara ed esaustiva sulle equazioni di secondo grado complete!

Una equazione è di secondo grado quando l’incognita (solitamente x) compare con esponente 2 (alla seconda o al quadrato).

La forma generica dell’equazione di secondo grado è la seguente:

$ax^{2}+bx+c=0$

In base a questa forma generica, a seconda che vi siano o meno alcuni dei suoi termini, si possono avere anche le equazioni di secondo grado pure e le equazioni di secondo grado spurie.

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado complete.

Per svolgere una equazione di secondo grado completa è necessario ricordare una formula risolutiva, che permette di ottenere le soluzioni dell’equazione stessa; la formula risolutiva è la seguente:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In particolari condizioni, cioè quando b è pari, è possibile utilizzare la formula risolutiva ridotta (in breve, formula ridotta):

$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}$

Vediamo con qualche esempio come si applicano le formule sopra riportate.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $x^2+4x-5=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=1$

$b=4$

$c=-5$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$x_{2}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$

In questo esempio è possibile applicare la formula ridotta, in alternativa a quella generica, poiché b è pari. Le soluzioni date dalla formula ridotta devono essere le stesse; verifichiamo:

$x_{1,2}=\frac{-\frac{4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{4}{2})^{2}-1\cdot(-5)}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 2^{2}+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 4+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 9}}{1}=\frac{-2\pm3}{1}=$

Analogamente a quanto riportato sopra, le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-2-3}{1}=\frac{-5}{1}=-5$

$x_{2}=\frac{-2+3}{1}=\frac{1}{1}=1$

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: $-x^2+3x+4=0$

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva (precisiamo che non è possibile applicare la formula ridotta, poiché b non è pari):

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

In questo caso:

$a=-1$

$b=3$

$c=4$

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}=\frac{-3\pm5}{-2}=$

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

$x_{1}=\frac{-3-5}{-2}=\frac{-8}{-2}=+4$

$x_{2}=\frac{-3+5}{-2}=\frac{+2}{-2}=-1$

Se la spiegazione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina con gli esercizi sulle equazioni di secondo grado complete!

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