Equazioni di primo grado fratte

Vuoi sapere cosa sono le equazioni di primo grado fratte e come si risolvono? Sei nel posto giusto!

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

$\frac{N(x)}{D(x)}=0$

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
Eliminare i denominatori
Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Prima di iniziare può essere utile rivedere come si risolve una equazione di primo grado intera!

Esempio 1

$\frac{2}{x-1}=1$

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: $x-1$ $\neq$ $0$ .

Con un semplice passaggio, portiamo il $-1$ a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: $x$ $\neq$ $+1$ .

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

$\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}$

Moltiplicando a sinistra e a destra per $x-1$ è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

$2=x-1$

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

$-x=-2-1$

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

$-x=-3$

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per $-1$ , così la x risulterà positiva:

$x=3$

Se confrontiamo la soluzione ottenuta ( $x=3$ ) con le condizioni di esistenza ( $x$ $\neq$ $+1$ ) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

$\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}$

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro ( $2x-2$ ): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

$\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: $x-1$ $\neq$ $0$ . Con un semplice passaggio, portiamo il $-1$ a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: $x$ $\neq$ $+1$ .

Il m.c.m. dei denominatori è $2(x-1)$ , quindi avremo:

$\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}$

Eliminando i denominatori si ottiene $x+3=2(x+1)$ .

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo $x+3=2x+2$ .

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: $x-2x=2-3$

Svolgiamo i calcoli e otteniamo $-x=-1$ .

Moltiplicando per $-1$ a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè $x=1$ .

Se confrontiamo la soluzione ottenuta ( $x=1$ ) con le condizioni di esistenza ( $x$ $\neq$ $+1$ ) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.

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