Scomposizione con quadrato di un binomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!
La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.
Se il polinomio da scomporre è un trinomio, è possibile – con alcune condizioni – che la scomposizione da applicare sia quella del quadrato di un binomio.
Le forme generiche di questa scomposizione sono le seguenti:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Osservando le forme generiche, si deve verificare che il trinomio sia composto da:
- due termini che sono due quadrati (a2 è il quadrato di a; b2 è il quadrato di b);
- un termine che corrisponde al doppio prodotto delle basi (+ 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel primo caso; – 2ab è il doppio prodotto di a e – b, nel secondo caso).
Concludendo, se in un trinomio due termini sono dei quadrati e il terzo termine è il doppio prodotto delle relative basi, il trinomio corrisponde allo sviluppo del quadrato di un binomio.
Esempio 1:
x2 + 4x + 4
Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:
- x2 è il quadrato di x;
- 4 è il quadrato di 2;
- 4x è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2 · x = 4x.
Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:
(x + 2)2 = (x)2 + 2 · 2 · x + (2)2 = x2 + 4x + 4
Esempio 2:
4a4 – 12a2b + 9b2
Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:
- 4a4 è il quadrato di 2a2;
- 9b2 è il quadrato di – 3b (lo consideriamo negativo perché il doppio prodotto è negativo);
- – 12a2b è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2a2 · (- 3b) = – 12a2b.
Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:
4a4 – 12a2b + 9b2 = (2a2 – 3b)2
Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:
(2a2 – 3b)2 = (2a2)2 + 2 · 2a2 · (- 3b) + (- 3b)2 = 4a4 – 12a2b + 9b2
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