La scomposizione di un polinomio scritto come somma di due cubi (o differenza di due cubi) è possibile se il polinomio è composto da due monomi che hanno:
- i coefficienti cubi perfetti;
- le parti letterali con gli esponenti divisibili per 3.
Genericamente, la scomposizione della somma di due cubi può essere espressa nella forma:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
In modo analogo, la scomposizione della differenza di due cubi può essere espressa genericamente come:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Osservando le scomposizioni, la somma di due cubi (o la differenza di due cubi) può essere espressa come il prodotto tra:
- la somma (o la differenza) tra le basi (a è la base di a3; b è la base di b3);
- il trinomio composta da:
- il quadrato della prima base (a2 è il quadrato di a);
- il prodotto delle basi, cambiato di segno (– ab nel caso di somma di due cubi; + ab nel caso di differenza di due cubi);
- il quadrato della seconda base (b2 è il quadrato di b).
Esempio 1:
8x3 + 27y3
Osservando il polinomio si può notare che:
- i coefficienti sono cubi perfetti (8 è il cubo di 2; 27 è il cubo di 3);
- le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (entrambi gli esponenti di x e di y sono uguali a 3).
Questo porta ad affermare che il polinomio 8x3 + 27y3 corrisponde alla somma di due cubi, quindi si può scomporre.
Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:
8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:
(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) = 8x3 – 12x2y + 18xy2 + 12x2y – 18xy2 + 27y3 = 8x3 + 27y3
I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.
Esempio 2:
a9 – 64b6
Osservando il polinomio si può notare che:
- i coefficienti sono cubi perfetti (1 è il cubo di 1; 64 è il cubo di 4);
- le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (a ha esponente uguale a 9; b ha esponente uguale a 6).
Questo porta ad affermare che il polinomio a9 – 64b6 corrisponde alla differenza di due cubi, quindi si può scomporre.
Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:
a9 – 64b6 = (a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4)
Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:
(a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4) = a9 + 4a6b2 + 16a3b4 – 4a6b2 – 16a3b4 – 64b6 = a9 – 64b6
I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.
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