Il trinomio notevole è un particolare trinomio di secondo grado che presenta alcune caratteristiche specifiche.
Si considera un trinomio di secondo grado della forma:
x2 + sx + p
in cui s e p sono coefficienti numerici che soddisfano queste condizioni:
- s = n1 + n2 (cioè la somma di due numeri)
- p = n1 · n2 (cioè il prodotto di due numeri)
Sostituendo i valori di s e di p nel trinomio di secondo grado generico si ottiene:
x2 + (n1 + n2)x + (n1 · n2)
Se esistono due numeri n1 e n2 che rispettano le condizioni sopra riportate (esistono, quindi, la somma e il prodotto), allora si può procedere alla scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto nel modo seguente:
x2 + sx + p = (x + n1)(x + n2)
Esempio 1:
x2 + 9x + 20
L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:
- s = n1 + n2 = + 9
- p = n1 · n2 = + 20
La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 4; + 5); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:
- s = n1 + n2 = + 4 + 5 = + 9
- p = n1 · n2 = (+ 4) · (+ 5) = + 20
I valori + 4 e + 5 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:
x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:
(x + 4)(x + 5) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20
Esempio 2:
x2 + 5x – 14
L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:
- s = n1 + n2 = + 5
- p = n1 · n2 = – 14
La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 7; – 2); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:
- s = n1 + n2 = + 7 – 2 = + 5
- p = n1 · n2 = (+ 7) · (- 2) = – 14
I valori + 7 e – 2 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:
x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)
Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:
(x + 7)(x – 2) = x2 – 2x + 7x – 14 = x2 + 5x – 14
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