Il raccoglimento a fattor comune parziale (o più semplicemente raccoglimento parziale) si può applicare quando nel polinomio si possono mettere in evidenza alcuni fattori, cioè nel caso in cui il polinomio ha fattori comuni “a gruppi”.
La scomposizione di polinomi con raccoglimento a fattor comune parziale si applica, in genere, a quei polinomi che hanno un numero di termini pari.
Esempio 1:
x2 + xy + 2x + 2y
Osservando il polinomio si può notare che non esiste un fattore comune a tutti i termini che lo compongono (quindi non è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune totale); si può però notare che i primi due termini (x2 e xy) hanno in comune il fattore x, mentre gli altri due termini (2x e 2y) hanno in comune il fattore 2.
Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:
x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y)
Ora non resta che raccogliere il termine (x + y), ottenendo così:
x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y) = (x + y)(x + 2)
In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine x tra il primo e il terzo monomio (x2 e 2x) e il termine y tra il secondo e il quarto monomio (xy e 2y), ottenendo così:
x2 + xy + 2x + 2y = x (x + 2) + y (x + 2) = (x + 2)(x + y)
Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.
Esempio 2:
a3 + a2 + a + a2b + ab + b
Osservando il polinomio si può notare che i primi tre termini (a3, a2 e a) hanno in comune il fattore a, mentre gli altri tre termini (a2b, ab e b) hanno in comune il fattore b.
Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:
a3 + a2 + a + a2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1)
Ora non resta che raccogliere il termine (a2 + a + 1), ottenendo così:
a3 + a2 + a + a2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)(a + b)
In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine a2 tra il primo e il quarto monomio (a3 e a2b), il termine a tra il secondo e il quinto monomio (a2 e ab), il termine 1 tra il terzo e il sesto monomio (a e b), ottenendo così:
a3 + a2 + a + a2b + ab + b = a2 (a + b) + a (a + b) + 1 (a + b) = (a + b)(a2 + a + 1)
Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.
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