Il raccoglimento a fattor comune totale (o più semplicemente raccoglimento totale) è il modo più semplice per scomporre un polinomio.
Per poter applicare questa operazione di scomposizione è necessario che tutti i termini del polinomio abbiano un divisore comune: si deve, quindi, identificare il M.C.D. del polinomio.
Una volta trovato il M.C.D. del polinomio, si utilizza la proprietà del raccoglimento per ottenere la scomposizione.
Esempio 1:
15a2 + 10a3 – 20a5
Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:
- per i coefficienti (15, 10 e 20) il M.C.D. è 5;
- per le parti letterali (a2, a3 e a5) il M.C.D. è a2;
Il M.C.D. dei termini è 5a2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:
15a2 + 10a3 – 20a5 = 5a2 (3+ 2a – 4a3)
Esempio 2:
2xy3z4 – 3x3y2z + x2y3 – 4x4y4z
Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:
- per i coefficienti (2, 3, 1 e 4) il M.C.D. è 1;
- per le parti letterali (xy3z4, x3y2z, x2y3 e x4y4z) il M.C.D. è xy2;
Il M.C.D. dei termini è xy2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:
2xy3z4 – 3x3y2z + x2y3 – 4x4y4z = xy2 (2yz4 – 3x2z + xy – 4x3y2z)
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