Problemi con massimo comune divisore (M.C.D.)

Nella pratica è possibile incontrare problemi che richiedono il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Ecco un esempio:

Tre tubi di alluminio sono lunghi rispettivamente 24 cm, 36 cm e 40 cm: questi tubi vanno tagliati e si vogliono ottenere dei pezzi tutti uguali e della massima lunghezza possibile, senza che avanzino pezzi. Qual è la lunghezza dei pezzi? Quanti pezzi si ottengono?

Questo è un tipico problema risolvibile con il Massimo Comune Divisore: si considerano tre grandezze che vanno tagliate (quindi si devono trovare dei divisori di queste grandezze); i pezzi devono essere tutti uguali (quindi i divisori devono essere comuni); i pezzi devono essere della massima lunghezza possibile, senza avanzare pezzi (quindi tra i divisori comuni si deve scegliere quello massimo).

Questo ragionamento ci porta a concludere che la lunghezza dei pezzi da tagliare corrisponde al Massimo Comune Divisore delle lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali.

Si procede, quindi, con il calcolo di M.C.D. (24; 36; 40).

La scomposizione in fattori primi dei tre numeri porta ai seguenti risultati:

$24= 2^{3}\cdot3$

$36= 2^{2}\cdot 3^{2}$

$40= 2^{3}\cdot 5$

Per il calcolo del M.C.D. si devono considerare solo i fattori comuni, con il più basso esponente: in questo caso, l’unico fattore comune è il 2, quello con esponente più basso è 2², quindi:

M.C.D. (24; 36; 40) = 2² = 4

Sono, quindi, 4 cm, cioè la lunghezza dei pezzi che verranno tagliati.

Per stabilire quanti pezzi si ottengono, è sufficiente sommare le lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali e dividere per la lunghezza dei pezzi:

24 + 36 + 40 = 100 cm : 4 cm = 25 pezzi.

In totale si ottengono 25 pezzi.

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!